1 Espaces vectoriels

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Espaces vectoriels
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première
année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitre Kreprésente soit l’ensemble des réels Rsoit celui des com-
plexes C.
1.1 Espaces vectoriels sur K
Définition 1
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de
composition externe à opérateurs dans Knotée ·.Onditque(E, +,·)estunK-espace
vectoriel s’il vérifie les dix propriétés suivantes
1. (E, +) est un groupe commutatif, c’est-à-dire que :
OiL’opération + est une loi de composition interne.
APour tout triplet (x, y, z) d’éléments de E,ona(x+y)+z=x+(y+z).
NIl existe un élément 0Edans E, tel que pour tout élément xde E,ona
x+0
E=0E+x=x.
SPour tout élément xde E, il existe un élément yde Etel que x+y=y+x=0E;
on note cet élément −x.
CPour tout couple (x, y) d’éléments de Eon a x+y=y+x.
2. La loi ·vérifie les cinq propriétés suivantes :
OeL’opération ·est une loi de composition externe.
AmPour tout couple (l,m) d’éléments de Ket pour tout élément xde E,
l·(m·x)=(lm)·x.

Chapitre 1–Espaces vectoriels
NPour tout élément xde E,1·x=x.
DgPour tout couple (l,m) d’éléments de Ket pour tout élément xde E,
(l+m)·x=l·x+m·x.
DdPour tout l∈Ket tout couple (x, y) d’éléments de E,l·(x+y)=l·x+l·y.
➤Remarques
•Les éléments de Ksont appelés des scalaires et les éléments de Edes vecteurs.
•Sauf mention contraire, les lettres majuscules E,F. . . désigneront des espaces vectoriels sur K, les lettres
minuscules u,v, ..., ou e1,e2, ...désigneront des vecteurs et les lettres grecques a,b,..., l,m, ...des
scalaires.
•Le vecteur nul 0E, élément neutre pour l’addition des vecteurs, est unique et nous avons, pour tout scalaire l
et tout vecteur x, l’équivalence lx=0E⇐⇒ (l=0) ou (x=0E).
•L’opposé d’un vecteur xest unique et nous avons pour tout scalaire lles égalités suivantes
(−l)x=l(−x)=−(lx).
•Tout espace vectoriel contient au moins le vecteur nul et n’est donc pas vide.
Exemples
1. L’ensemble K[X] des polynômes muni des lois habituelles est un K-espace vectoriel.
2. Pour toute valeur des entiers non nuls net p, l’ensemble Mn,p(K) des matrices muni des
lois habituelles est un K-espace vectoriel.
3. Pour toute valeur de l’entier non nul n, l’ensemble Knou M1,n(K)des n-uplets de
scalaires est un K-espace vectoriel.
4. L’ensemble Clui-même peut être considéré comme un R-espace vectoriel ou un C-espace
vectoriel.
5. L’ensemble KNdes suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un
scalaires est un K-espace vectoriel.
6. L’ensemble RIdes fonctions réelles fdéfinies sur un intervalle Imuni de l’addition des
fonctions et du produit par un réel est un R-espace vectoriel.
Définition 2
On appelle famille finie de vecteurs tout n-uplet de nvecteurs où nest un entier naturel
non nul.
➤Remarques
•Deux familles de vecteurs sont égales si elles sont constituées des mêmes vecteurs dans le même ordre.
•On note habituellement une telle famille (e1,e
2,...,e n)ou(ei)i∈Iavec Iun sous-ensemble fini de N.
•On dira que (ei)i∈Jest une sous famille de la famille (ei)i∈Isi l’on a J⊂I.
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