1 Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
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1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première
année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitre K représente soit l’ensemble des réels R soit celui des complexes C.
1.1 Espaces vectoriels sur K
Définition 1
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de
composition externe à opérateurs dans K notée ·. On dit que (E, +, ·) est un K-espace
vectoriel s’il vérifie les dix propriétés suivantes
1. (E, +) est un groupe commutatif, c’est-à-dire que :
Oi
A
L’opération + est une loi de composition interne.
Pour tout triplet (x, y, z) d’éléments de E, on a (x + y) + z = x + (y + z).
N Il existe un élément 0E dans E, tel que pour tout élément x de E, on a
x + 0E = 0E + x = x.
S Pour tout élément x de E, il existe un élément y de E tel que x + y = y + x = 0E ;
on note cet élément −x.
C Pour tout couple (x, y) d’éléments de E on a x + y = y + x.
2. La loi · vérifie les cinq propriétés suivantes :
Oe
L’opération · est une loi de composition externe.
Am Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
l · (m · x) = (lm) · x.
Chapitre 1 – Espaces vectoriels
N
Pour tout élément x de E, 1 · x = x.
Dg Pour tout couple (l, m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
(l + m) · x = l · x + m · x.
Dd
Pour tout l ∈ K et tout couple (x, y) d’éléments de E, l · (x + y) = l · x + l · y.
➤ Remarques
• Les éléments de K sont appelés des scalaires et les éléments de E des vecteurs.
• Sauf mention contraire, les lettres majuscules E, F . . . désigneront des espaces vectoriels sur K, les lettres
minuscules u, v, . . . , ou e1 , e2 , . . . désigneront des vecteurs et les lettres grecques a, b,. . . , l, m, . . . des
scalaires.
• Le vecteur nul 0E , élément neutre pour l’addition des vecteurs, est unique et nous avons, pour tout scalaire l
et tout vecteur x, l’équivalence lx = 0E ⇐⇒ (l = 0) ou (x = 0E ).
• L’opposé d’un vecteur x est unique et nous avons pour tout scalaire l les égalités suivantes
(−l)x = l(−x) = −(lx).
• Tout espace vectoriel contient au moins le vecteur nul et n’est donc pas vide.
Exemples
1. L’ensemble K[X] des polynômes muni des lois habituelles est un K-espace vectoriel.
2. Pour toute valeur des entiers non nuls n et p, l’ensemble Mn,p (K) des matrices muni des
lois habituelles est un K-espace vectoriel.
3. Pour toute valeur de l’entier non nul n, l’ensemble Kn ou M1,n (K) des n-uplets de
scalaires est un K-espace vectoriel.
4. L’ensemble C lui-même peut être considéré comme un R-espace vectoriel ou un C-espace
vectoriel.
5. L’ensemble KN des suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un
scalaires est un K-espace vectoriel.
6. L’ensemble RI des fonctions réelles f définies sur un intervalle I muni de l’addition des
fonctions et du produit par un réel est un R-espace vectoriel.
Définition 2
On appelle famille finie de vecteurs tout n-uplet de n vecteurs où n est un entier naturel
non nul.
➤ Remarques
• Deux familles de vecteurs sont égales si elles sont constituées des mêmes vecteurs dans le même ordre.
• On note habituellement une telle famille (e1 , e2 , . . . , en ) ou (ei )i∈I avec I un sous-ensemble fini de N.
• On dira que (ei )i∈J est une sous famille de la famille (ei )i∈I si l’on a J ⊂ I.
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