Espaces vectoriels

Semaine 16 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
2 mars 2015
Cours
•Démonstration de l’équivalence des définitions des projecteurs.
•Tout supplémentaire du noyau est isomorphe à l’image.
•une application linéaire est injective ssi l’image d’une base est libre.
Exercices
Exercice 1. Pour tout λ∈Ron pose fλ:x7→ |x−λ|, montrer que (fλ)λ∈Rforme une famille
libre.
Pour ce genre de questions, il est important d’être méthodique :
Première étape : montrer qu’une famille infinie de vecteurs est libre revient à montrer que toute
sous famille finie de vecteurs est libre donc soit λ1, . . . , λndes réels distincts, et µ1, . . . , µndes
réels on suppose que : n
X
i=1
µifλi= 0
Montrons donc que µi= 0 (ceci est le point de départ, on vous en voudra moins (voir pas du
tout) si vous ne savez pas conclure, par contre on risque de vous en vouloir si vous écrivez des
choses qui n’ont pas de sens comme une somme infini de vecteurs non nuls par exemple).
Deuxième étape :
∀k∈J1, nK, µkfλk=−
n
X
i=1,i6=k
µifλi
Or le terme de droite est dérivable en λk(car x7→ |x|est dérivable sur R?), alors que fλkne l’est
pas, il est donc nécessaire d’avoir µk= 0 et ce pour tout k. On a donc bien une famille libre.
Exercice 2. Pour tout λ∈Ron pose fλ:x7→ exp(λx), montrer que (fλ)λ∈Rforme une famille
libre.
En raisonnant par l’absurde, si
n
P
i=1
aifλi= 0, avec les λiclassé par ordre croissant, et les ainon
nuls (quitte à enlever les ai= 0, alors si λn≥0on a :
0 =
n
X
i=1
aifλi(t)∼
t→+∞anexp(λnt)→ t→+∞sgn(an)×+∞
1

Ce qui est impossible, donc les aisont tous nuls, de même les λisont tous négatif, en prenant
t→ −∞, alors on aura un équivalent à a1fλ1(t).
Exercice 3. Soit Eun Kespace vectoriel , p, q des projecteurs de Emontrer que :
p+qest un projecteur si et seulement si p◦q=q◦p= 0
Exercice 4. Soit E=C∞(R,R), soit F={f∈E, ∀i∈J1, nK,f(n)(0) = 0}, montrer que Fest
un sous espace vectoriel de E, et trouver un supplémentaire.
Exercice 5. Soit E=C(R,R)soient x1,...xndes réels deux-à-deux distincts, on note F=
{f∈E, ∀i∈J1, nK, f(xi) = 0}, montrer que Fest un sous espace vectoriel de E, en donner un
supplémentaire.
Exercice 6. Soit (pn)la suite des nombres premiers, montrer que (ln pn)n∈Nest une famille
libre de Rvu comme un Qespace vectoriel.
En déduire qu’il existe au plus un nombre premier ptel que ln p∈Q.
Exercice 7. Soient E, F, G trois Kespaces vectoriels, g∈ L(F, G)injective on pose :
Φ : L(E, F )→ L(E, G)
f7→ g◦f
Montrer que Φest bien définie, linéaire et injective.
Exercice 8. On pose Hk(X) = X(X−1)...(X−k+1)
k!, montrer que (Hk)k∈Nest une base de R[X],
montrer que Hk(n)∈Zdès que n∈Z.
Finalement montrer que pour P∈R[X]on a P(Z)⊂Zssi P=PλiHiavec λi∈Z.1
Exercice 9. Soient E, F, G trois Kespaces vectoriels.
•Soit f∈ L(E, F ),g∈ L(E, G)trouver une cns pour qu’il existe h∈ L(F, G)tel que
g=h◦f
•Soit g∈ L(E, G)et h∈ L(F, G)trouver une CNS sur g, h pour qu’il existe f∈ L(E, F )
tel que g=h◦f
1. Moralité : P(Z)⊂Zn’implique pas forcément que P∈Z[X], contrairement au fait que P(Q)⊂Q=⇒P∈
Q[X]
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