Espaces vectoriels

Semaine 16 de Kholles, MPSI Lycée Louis Le Grand
Loïc Devilliers
2 mars 2015
Cours
• Démonstration de l’équivalence des définitions des projecteurs.
• Tout supplémentaire du noyau est isomorphe à l’image.
• une application linéaire est injective ssi l’image d’une base est libre.
Exercices
Exercice 1. Pour tout λ ∈ R on pose fλ : x 7→ |x − λ|, montrer que (fλ )λ∈R forme une famille
libre.
Pour ce genre de questions, il est important d’être méthodique :
Première étape : montrer qu’une famille infinie de vecteurs est libre revient à montrer que toute
sous famille finie de vecteurs est libre donc soit λ1 , . . . , λn des réels distincts, et µ1 , . . . , µn des
réels on suppose que :
n
X
µi fλi = 0
i=1
Montrons donc que µi = 0 (ceci est le point de départ, on vous en voudra moins (voir pas du
tout) si vous ne savez pas conclure, par contre on risque de vous en vouloir si vous écrivez des
choses qui n’ont pas de sens comme une somme infini de vecteurs non nuls par exemple).
Deuxième étape :
∀k ∈ J1, nK , µk fλk = −
n
X
µi fλi
i=1,i6=k
Or le terme de droite est dérivable en λk (car x 7→ |x| est dérivable sur R? ), alors que fλk ne l’est
pas, il est donc nécessaire d’avoir µk = 0 et ce pour tout k. On a donc bien une famille libre.
Exercice 2. Pour tout λ ∈ R on pose fλ : x 7→ exp(λx), montrer que (fλ )λ∈R forme une famille
libre.
n
P
En raisonnant par l’absurde, si
ai fλi = 0, avec les λi classé par ordre croissant, et les ai non
i=1
nuls (quitte à enlever les ai = 0, alors si λn ≥ 0 on a :
0=
n
X
i=1
ai fλi (t)
∼
t→+∞
an exp(λn t)
1
→
t→+∞
sgn(an ) × +∞
Ce qui est impossible, donc les ai sont tous nuls, de même les λi sont tous négatif, en prenant
t → −∞, alors on aura un équivalent à a1 fλ1 (t).
Exercice 3. Soit E un K espace vectoriel , p, q des projecteurs de E montrer que :
p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0
Exercice 4. Soit E = C ∞ (R, R), soit F = {f ∈ E, ∀i ∈ J1, nK, f (n) (0) = 0}, montrer que F est
un sous espace vectoriel de E, et trouver un supplémentaire.
Exercice 5. Soit E = C(R, R) soient x1 , . . . xn des réels deux-à-deux distincts, on note F =
{f ∈ E, ∀i ∈ J1, nK , f (xi ) = 0}, montrer que F est un sous espace vectoriel de E, en donner un
supplémentaire.
Exercice 6. Soit (pn ) la suite des nombres premiers, montrer que (ln pn )n∈N est une famille
libre de R vu comme un Q espace vectoriel.
En déduire qu’il existe au plus un nombre premier p tel que ln p ∈ Q.
Exercice 7. Soient E, F, G trois K espaces vectoriels, g ∈ L(F, G) injective on pose :
L(E, F ) → L(E, G)
Φ:
f
7→
g◦f
Montrer que Φ est bien définie, linéaire et injective.
Exercice 8. On pose Hk (X) = X(X−1)...(X−k+1)
, montrer que (Hk )k∈N est une base de R[X],
k!
montrer que Hk (n) ∈ Z dès que n ∈ Z.
P
Finalement montrer que pour P ∈ R[X] on a P (Z) ⊂ Z ssi P =
λi Hi avec λi ∈ Z. 1
Exercice 9. Soient E, F, G trois K espaces vectoriels.
• Soit f ∈ L(E, F ), g ∈ L(E, G) trouver une cns pour qu’il existe h ∈ L(F, G) tel que
g =h◦f
• Soit g ∈ L(E, G) et h ∈ L(F, G) trouver une CNS sur g, h pour qu’il existe f ∈ L(E, F )
tel que g = h ◦ f
1. Moralité : P (Z) ⊂ Z n’implique pas forcément que P ∈ Z[X], contrairement au fait que P (Q) ⊂ Q =⇒ P ∈
Q[X]
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