Espaces vectoriels et applications linéaires

Lycée Berthollet PCSI2 2016-17
Programme de colle de la semaine du 27 au 31 mars 2017
Nota Bene : Je laisse pour la troisième semaine le début de ce chapitre en raison de l’importance
de l’acquisition de ces notions de base.
Espaces vectoriels et applications linéaires
On note Kpour Rou C.
—Définition d’un K-espace vectoriel E. Petites propriétés : λu=0E⇐⇒ (λ=OKou u=
OE),(−1)u=−u. Exemples : {0},R2,R3,Rn,Cn,K[X].KΩ, où Ωest un ensemble
quelconque. Cas particuliers : espace KNdes suites d”éléments de K, espace RIdes
fonctions définies sur un intervalle Ide R. Espace vectoriel Mn,p(K)(= K[[1,n]]×[[1,p]])
des matrices n×pà coefficients dans K.
—Combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs.
—Sous-espaces vectoriels : définition : partie Fde Estable pour +et pour la multipli-
cation par les scalaires et qui, munie des loi induites, est un e.v. Caractérisation : Fest
non-vide et stable par combinaisons linéaires (on peut se restreindre aux CL de deux
vecteurs). Exemples : {0},E, Quelles sont les droites de R2et R3qui sont des sous-
espaces vectoriels ? les plans de R3qui en sont ? Autres exemples : sous-espaces de
KNdes suites vérifiant une récurrence linéaire homogène d’ordre 2, solutions d’une
équation différentielle linéaire homogène, solutions d’un système linéaire homogène.
Sous-espaces Pet Ide RRdes fonctions paires et impaires, matrices symétriques (S) et
antisymétriques (A) dans Mn(K). Sous-espace Kn[X]de K[X]. Sous-espace des fonc-
tions continues (resp. dérivables, de classe Ck) dans RI.{f:I−→ R|f(x0) = 0}est un
ss-e.v. de RI. Sous-espace Vect(u1,...,uk) = ¶Pk
i=1λiui;(λ1,...,λk)∈Kk©engendré
par une famille finie de vecteurs. Exemples dans R2et R3.
—Intersection de sous-e.v. : toute intersection de sous-e.v. de Eest un sous-e.v. de E.
Attention, pas de définition du sous-e.v. engendré par une famille ou partie infinie !
—Somme de deux sous-e.v. : définition de la somme de Fet G(les vecteurs de F+Gsont
ceux qui se décomposent comme somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de G), c’est
un sous-e.v. de E, définition d’une somme directe (pour tout vecteur de la somme, la
décomposition précédente est unique). Caractérisation : une somme de deux sous-e.v.
Fet Gest directe ssi F∩G=/ 0. Notation F⊕G. Exemples dans R3, cas des fonctions
paires et impaires dans RR, des matrices symétriques et antisymétriques dans Mn(K).
Sous-espaces supplémentaires.
—Applications linéaires : Définition (morphisme d’e.v. i.e. préservant les lois), caractéri-
sation (cela équivaut à préserver les CL et même les CL de deux vecteurs). Exemples :
application nulle, fonctions polynômiales homogènes de degré 1 de Rndans R, transpo-
sition, la conjugaison sur Cest R-linéaire mais pas C-linéaire, dérivation sur K[X]ou de
C1(R)dans C0(R). Lesquelles parmi les transformations de Cde la forme z7−→ az +b
sont C-linéaires ? On fait remarquer à cette occasion que 0 est préservé par toute applica-
tion linéaire. Exemple explicite d’une application linéaire de R2dans R3, premier aperçu

informel de la notion de matrice dans le cas d’une application linéaire de R2dans lui-
même. Ensemble L(E,F)des applications linéaires de Evers F, c’est un sous-espace
vectoriel de FE.
—Composition d’applications linéaires : La composée de deux applications linéaires est
linéaire et l’application comp :(v,u)7−→ v◦ude L(F,G)×L(E,F)dans L(E,G)est
“bilinéaire” (pas de définition générale) au sens où pour vfixé, comp(v,·)est linéaire et
pour ufixé, comp(·,u)l’est (reformulation de ces propriétés avec des quantificateurs).
Notation vu =v·u=v◦u. Si une application linéaire est bijective, son application ré-
ciproque est automatiquement linéaire (on dit qu’on a un isomorphisme). Exemple d’un
calcul explicite de l’application réciproque dans le cas d’une application linéaire de R2
dans lui-même et observation du lien avec l’inversion d’une certaine matrice... La com-
posée de deux isomorphismes uet vest un isomorphisme et (v◦u)−1=u−1◦v−1.
—Image et noyau : L’image directe (resp. réciproque) d’un sous-espace vectoriel par une
application linéaire uest un sous-espace vectoriel, cas particulier : définition de l’image
Imuet du noyau Keru. Caractérisation de la surjectivité à l’aide de l’image et de l’in-
jectivité à l’aide du noyau. Déterminer en exercice les images et noyaux des exemples
précédents.
—Endomorphismes : Définition, notation L(E)pour l’ensemble des endomorphismes,
exemples : 0, IdE, les homothéties, les dérivations successives, les évaluations en un
point et la multiplication par un polynôme donné sont des endomorphismes de K[X],
exemple explicite dans R2. Muni des lois adéquates, L(E)est une “algèbre” (notion
non au programme, mais la terminologie est cependant utilisée, donc on rappelle les
propriétés à chaque fois...). Groupe linéaire GL(E), exemples.
Attention, les projections et symétries ne sont pas encore au programme de colle
car elles font l’objet d’un DM à rendre lundi.
—Familles (finies) génératrices : définition d’une famille génératrice de E(Vect =E),
exemples dans R3et parmi les exemples précédents (Kn,Kn[X],M3,2(K)), espace des
solutions d’une EDL2H, d’un système linéaire homogène, d’une récurence linéaire d’ordre
2. Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice.
—Familles (finies) libres : Idée de vecteurs “inutiles” dans une famille génératrice (ceux
qui sont CL des autres), qui mène à la définition habituelle des familles libres (toute
CL nulle a forcément tous ses coefficient nuls). Vocabulaire : vecteurs linéairement in-
dépendants, famille liée. Une famille à un vecteur est libre ssi ce vecteur est non nul.
Une famille de deux vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Dans
R3, une famille de trois vecteurs est libre ssi ces vecteurs ne sont pas coplanaires.
Exemples : vecteurs explicites de R3, toute famille finie de K[X]échelonnée en de-
gré (0 ≤d◦P0<d◦P1< . . . < d◦Pk) est libre, les “bases” canoniques (qui ne sont pas
encore des bases !) de Kn, de Kn[X]et de Mn,p(K)sont libres. Toute sous-famille d’une
famille libre est libre.
—Coordonnées : Définition d’une base de E. Caractérisation d’une base : tout vecteur
s’écrit de manière unique comme CL de cette famille. Définition de la famille des coor-
données d’un vecteur udans une base e, représentation sous forme de matrice colonne
Mate(u). Autres exemples de bases dans R2et R3. Bases canoniques de Kn,Kn[X]et
Mn,p(K).
—Bases et sommes directes : Base adaptée à une décomposition en somme directe de
deux sous-ev. Inversement, si (e1,...,ek,ek+1,...,ep)est une famille libre de E, alors
Vect (e1,...,ek)et Vect (ek+1,...,ep)sont en somme directe. Exemple des sous-ev des
2

matrices symétriques et des matrices antisymétriques dans M3(K).
—Image d’une famille (finie) par une application linéaire : Soient u∈L(E,F)et x=
(xi)k
i=1∈Ek. Pour alléger les notations, on note u(x)la famille (u(xi))k i=1. On a alors
u(Vect (x)) = Vect (u(x)). Conséquences : si xengendre E,u(x)engendre Im(u); si u
est surjective, l’image d’une famille génératrice de Eengendre F. Par ailleurs, si uest
injective, l’image d’une famille libre de Eest libre. En particulier, si uest un isomor-
phisme, l’image de toute base de Eest une base de F.
—Compléments sur les familles : En guise de transition avec le chapitre sur la dimension,
on démontre : une famille finie de Eest une base ssi elle est libre maximale ssi elle est
génératrice minimale.
Toutes les définitions et tous les énoncés sont exigibles.
Démonstrations de cours exigibles
— La somme de deux sous-e.v. de Eest un sous-e.v. + Caractérisation de la somme directe ;
—L(E,F)est un sous-espace vectoriel de FE;
— L’image directe (resp. réciproque) d’un sous-espace vectoriel par une application li-
néaire uest un sous-espace vectoriel + Caractérisation de l’injectivité à l’aide du noyau ;
— Toute famille finie de K[X]échelonnée en degré (0 ≤d◦P0<d◦P1< . . . < d◦Pk) est
libre ;
— Caractérisation d’une base : tout vecteur s’écrit de manière unique comme CL de cette
famille ;
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