Espaces vectoriels Définition : un ensemble E muni de – Une loi

Espaces vectoriels
D´ efinition : un ensemble Emuni de
– Une loi interne not ´ ee +pour laquelle (E, +) est un groupe commutatif.
– Une loi externe R×E→Enot´ ee .v´ erifiant :
∀(λ, µ)∈R2,∀(~x, ~y)∈E2
λ.(~x +~y) = λ.~x +λ.~y
(λ+µ).~x =λ.~x +µ.~x
λ.(µ.~x) = (λµ).~x
1.~x =~x
est appel´ e un R−espace vectoriel.
Exemple :
-Rnest un R-ev pour les lois :
(x1,...,xn) + (y1,...,yn)def = (x1+y1,...,xn+yn)
λ.(x1,...,xn)def = (λx1,...,λxn)
- L’ensemble des fonctions d’un ensemble Adans R(F(A, R)ou RA) est un R-ev pour :
f+g:x→f(x) + g(x)et λ.f :x→λf (x)
Remarques :
– Pour A={1,...,n}, on retrouve Rn.
– Pour A=N, on a RN, c’est ` a dire l’ensemble des suites r ´ eelles.
Sous-espace vectoriel
D´ efinition : Un ensemble non vide Fde (E, +, .)espace vectoriel est un sous-espace vectoriel ssi
les lois +et .induisent sur Fune structure d’espaces vectoriels. On a la caract ´ erisation suivante :
F6=∅est un sous-ev de E⇐⇒ ∀λ∈R
∀(~u, ~v)∈F2, λ.~u +~v ∈F
D´ efinition : Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de (E, +, .). On d ´ efinit la somme de Fet
Gpar :
F+G={~u +~v |~u ∈F, ~v ∈G}
Il s’agit du plus petit sous-espace contenant Fet G
D´ efinition : Somme directe. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On note H=F+G.
Les deux propositions sont ´ equivalentes :
–∀~ h∈H, ∃!(~ hF,~ hG)∈F×G, ~ h=~ hF+~ hG
–F∩G={~ 0E}
La somme est dite directe et on note dans ce cas H=F⊕G.
D´ efinition : Notion de suppl ´ ementaire. Soient Fet Gdeux sev de E. On dit que Gest un
suppl´ ementaire de Fssi
F⊕G=E
Syst` emes de vecteurs
G´ en´ eration
D´ efinition : On appelle combinaison lin´ eaire de ~u1, ~u2, . . . , ~untout vecteur ~u s’´ ecrivant
~u =λ1.~u1+...λn.~unavec (λ1,...,λn)∈Rn
On note V ect({u1,...,un}) = {λ1.~u1+...λn.~un,(λ1,...,λn)∈Rn)}l’ensemble de toutes les com-
binaisons de ces vecteurs. C’est aussi le plus petit sous-espace vectoriel contenant ~u1, ~u2, . . . , ~un,
appel´ esous-espace engendr´ e par ~u1, ~u2,...,~un.
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Remarque : On peut g´ en´ eraliser la notion de sous-espace vectoriel engendr ´ e` a une partie quel-
conque non vide A⊂E.
D´ efinition : Soit Fun sev de (E, +, .).Aest dite partie g ´ en´ eratrice de Fssi F=V ect(A).
Ceci signifie que Fest exactement l’ensemble des combinaisons lin ´ eaires de vecteurs de A.
Ind´ ependance
D´ efinition : {~u1,...,~un}est dite li ´ ee ssi un des vecteurs de cette famille est combinaison lin ´ eaire
des autres.
∃i0∈ {1,...,n} | ui0∈V ect({u1,...,ui0−1, ui0+1, . . . , un})
Dans le cas contraire, la famille est dite libre.
On a la caract´ erisation :{~u1, . . . , ~un}libre ssi
∀(λ1,...,λn)∈Rn, λ1.~u1+...+λn.~un=~ 0E⇒λ1=...=λn= 0
Remarque : Le caract` ere libre ou g ´ en´ erateur d’un syst` eme de vecteurs est stable par les combi-
naisons lin´ eaires du type Gauss ei←λei+βej, avec λ6= 0 et i6=j.
Base
D´ efinition : Soit B= (e1, e2,...,en)∈Enun syst ` eme de vecteurs (l’ordre compte).
Best une base de Ed´
ef
⇔Best ` a la fois libre et g´ en´ eratrice de E.
Best une base de E⇔ ∀~v ∈E, ∃! (λ1,...,λn)∈Rn|~v =
i=n
X
i=1
λi.~ui
(λ1,...,λn)sont alors appel´ es coordonn´
ees de ~v dans la base Bet on note
[~v]B=
λ1
.
.
.
λn
Exemple : Dans Rn,B= (~e1, ~e2, . . . , ~en), o`u ~ei= (0,...,0,1,0,...,0) est une base de Rn. On
l’appelle la base canonique.
–∀~u = (u1,...,un)∈Rn, ~u =u1.~e1+...+un.~en
–λ1.~e1+. . . λ.~en=~ 0Rn⇔(λ1,...,λn) = (0,...,0) ⇔λ1=...=λn= 0
Dimension finie
D´ efinition : (E, +, .)est de dimension finie d´
ef
⇔Eadmet une partie g ´ en´ eratrice finie.
Dans ce cas, (E, +, .)poss ` ede une base finie, et toutes les bases ont le m ˆ
eme cardinal, que l’on
appelle la dimension de E. On la note dim E.
Exemple : dim Rn=n.
Soit Eun ev de dimension finie, avec dim E=n. Soit (x1,...,xp)un syst` eme de E.
– Si (x1,...,xp)est libre, alors p≤n.
– Si (x1,...,xp)est g ´ en´ erateur alors p≥n.
Rang d’un syst ` eme de vecteurs
D´ efinition : Soit Eun espace vectoriel et (x1,...,xp)un syst ` eme de vecteurs de E. Alors :
V ect(x1,...,xp)est de dimension finie. Par d ´ efinition, sa dimension rest le rang des vecteurs
(x1,...,xp)et r≤p.
On a les ´ equivalences :
(x1,...,xp)est g´ en´ erateur ⇔r= dim E
libre ⇔r=p
base ⇔r=p= dim E
Sous-espaces et dimension
Soit Eun ev de dimension finie n, et Fun sev de E.
–Fest de dimension finie et dim F≤n.
–F=E⇔dim F=n= dim E.
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