Plan vectoriel 1 Définitions

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Arthur LANNUZEL
le 13 D´ecembre 2005
http ://utbmal.chez-alice.fr
Plan vectoriel
1 D´efinitions
Dans le plan affine R2, consid´erons l’ensemble B des bipoints (A, B) avec A, B ∈R2. Sur
cet ensemble, deux bipoints (A, B) , (C, D) sont dits equipollents ssi ABDC est un pa-
rall`elogramme.
D´efinition 1.1 On appelle plan vectoriel, l’ensemble des vecteurs −→ AB de R2o`u −→ AB est l’en-
semble des bipoints equipollents `a (A, B).
Remarque 1.2 i) Si (A, B)et (C, D)sont equipollents alors −→ AB =−−→ CD.
ii) L’ensemble des vecteurs est en bijection avec R2(il suffit de fixer un point Oet d’envoyer
le point Msur le vecteur −−→ OM).
iii) Soit Ole point de coordonn´ees (0,0), et Iet Jde coordonn´ees respectives (1,0) et (0,1).
En notant −→ i:= −→ OI et −→ j:= −→ OJ on peut alors exprimer tout vecteur en fonction de −→ iet −→ j.
Si les coordonn´ees de Msont (x, y)alors −−→ OM =x.−→ i+y.−→ j. On note alors −−→ OM = (x, y)
iv) On repr´esentera le plan vectoriel en choisissant un rep`ere orthonorm´e direct de la fa¸con
suivante :
DESSIN
Op´erations du plan vectoriel.
On peut additionner des vecteurs : −→ AB+−→ AC =−−→ AD o`u Dest le point du plan tel que (A, B, C, D)
est un parall´elogramme. Si −→ AB = (x, y) et −→ AC = (x0, y0) alors −→ AB +−→ AC = (x+x0, y +y0). Cette
loi interne est associative, commutative, admet un ´el´ement neutre (−→ O= (0,0) est le vecteur
nul :∀−→ u∈R2,−→ u+−→ 0 = −→ u .) et tout ´el´ement du plan vectoriel admet un oppos´e (l’oppos´e de
−→
u= (xu, yu) est −u= (−xu,−yu)).
Soit λ∈R. On peut multiplier un vecteur −−→ OM = (x, y) par λ:λ.−−→ OM = (λ.x, λ.y) (loi
externe).

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Si λ, µ ∈Ret u, v sont deux vecteurs alors
λ.(µ.u) = (λµ).u, λ.(u+v) = λ.u +λ.v, (λ+µ).u =λ.u +µ.u, 1.u =u.
Remarque 1.3 i) Les propri´et´es pr´ec´edente d´efinissent un espace vectoriel sur R.
ii) On a la relation de Chasles :−→ AB +−−→ BC =−→ AC.
D´efinition 1.4 Deux vecteurs uet vsont dits colin´eaires si il existe λ, µ ∈Ravec (λ, µ)6=
(0,0) tels que λ.u +µ.v =−→ 0.
Sinon, ils sont dits lin´eairement ind´ependants.
Proposition 1.5 Deux vecteurs u= (x, y)et v= (x0, y0)sont lin´eairement ind´ependants ssi
xy0−x0y6= 0.
Exercice 1.6 ABC est un triangle
1. Exprimer −−→ AM en fonction de −→ AB et −→ AC dans chacun des cas suivants :
a) 2−−→ AM +−→ AC =−→ AB,
b) −−→ MA +−−→ MB +−−→ MC =−→ 0.
2. D´eterminer −−→ AM en fonction de −→ AB dans chacun des cas suivants :
a) −−→ MA + 2−−→ MB =−→ 0,
b) 4−−→ MA = 5−−→ MB.
Bases.
Une base de R2est un couple {−→ e , −→ f}de vecteurs libres.
{−→ i , −→ j}est une base (dite canonique) de R2.
Proposition 1.7 Soit {−→ e , −→ f}une base de R2
Pour −→ w= (x, y)∈R2, il existe un unique couple (Xw, Yw)tel que −→ w=Xw.−→ e+Yw.−→ f.(Xw, Yw)
sont les coordonn´ees de −→ wdans la base (−→ e , −→ f).
Les coordonn´ees de wdans la base {−→ i , −→ j}sont (x, y).
Exercice 1.8 Comment passe-t-on d’une base `a l’autre ? (penser aux matrices)
2 Droites.
D´efinition 2.1 On appelle droite vectoriel engendr´ee par −→ AB avec A6=Bl’ensemble des
vecteurs colin´eaires `a −→ AB.
La droite (affine) passant par Aet Best l’ensemble des points Mdu plan tels −−→ AM appartienne
`a la droite vectorielle engendr´ee par −→ AB.
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non-nul appartenant `a la droite vectorielle
associ´ee.

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Proposition 2.2 1) Trois points A,B,Csont align´es ssi −→ AB et −→ AC sont colin´eaires.
2) Une droite est d´efinie par la donn´ee d’un point et d’un vecteur directeur ou par la donn´ee
de deux points.
3) Deux droites sont parall`eles si elles sont associ´ee `a la mˆeme droite vectorielle. Ou si leurs
vecteurs directeurs sont colin´eaires.
Equation param´etrique et ´equation cart´esienne d’une droite.
La d´efinition d’une droite permet de construire deux types d’´equations suivant l’interpr´etation :
1 - La d´efinition d’une droite vectorielle nous donne l’´equation param´etrique de la droite
passant par A(xA, yA) et B(xB, yB) :
l’ensemble des points M(x, y) de la droite v´erifient (x, y) = (xA, yA)+t.(xB−xA, yB−yA), t ∈R,
ce qui nous donne
½x=xA+t.(xB−xA)
y=yA+t.(yB−yA)
2 - La proposition ci-dessus nous donne l’´equation cart´esienne de la droite passant par
A(xA, yA) et B(xB, yB) :
l’ensemble des points M(x, y) de la droite v´erifient (x−xA).(yB−yA) = (y−yA).(xB−xA), ce
qui nous donne
(y−yA).(xB−xA)−(x−xA).(yB−yA) = 0
ou sous la forme r´eduite
y=yB−yA
xB−xA
.(x−xA) + yA
yB−yA
xB−xAs’appelle le coefficient directeur de la droite (AB). Il ne d´epend pas des deux points
distincts choisis sur la droite.
Etant donn´ee l’´equation cart´esienne r´eduite d’une droite : y=ax +b, son coefficient directeur
est a, elle passe par le point de coordonn´ees (0, b) et un vecteur directeur est −→ u= (1, a).
Exercice 2.3 A quelle condition sur leur ´equation cart´esienne deux droites sont-elles parall`eles ?
3 G´eom´etrie euclidienne.
3.1 Produit scalaire, norme et distance euclidiennes.
D´efinition 3.1 1) Le produit scalaire de 2 vecteurs −→ u= (xu, yu)et −→ v= (xv, yv)du plan
muni d’un rep`ere orthonorm´e est le r´eel
−→
u .−→ v=xu.xv+yu.yv.
2) Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

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Proposition 3.2 Soit 3 vecteurs −→ u= (xu, yu),−→ v= (xv, yv)et −→ w= (xw, yw)du plan, λ, µ ∈
R. On a
(i) −→ u .−→ v=−→ v .−→ u(le produit scalaire est commutatif).
(ii) −→ u .(λ.−→ v+µ.−→ w) = λ.−→ u .−→ v+µ.−→ u .−→ w(distributivit´e).
(iii) −→ u .−→ 0 = 0.
(iv) −→ u .−→ u≥0.
(v) −→ u .−→ u= 0 ⇐⇒ −→ u=−→ 0.
D´efinition 3.3 La norme (euclidienne) d’un vecteur −→ u= (xu, yu)du plan est
k−→ uk=√−→ u .−→ u=px2
u+y2 u.
Th´eor`eme 3.4 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)
Soient 2 vecteurs −→ u= (xu, yu)et −→ v= (xv, yv)du plan.
|−→ u .−→ v| ≤ k−→ uk.k−→ vk.
Preuve.
k−→ uk2.k−→ vk2=x2
ux2 v+y2 uy2 v+x2 uy2 v+y2 ux2 v,
(−→ u .−→ v)2=x2
ux2 v+y2 uy2 v+ 2xuxvyuyv.
Or x2
uy2 v+y2 ux2 v−2xuxvyuyv≥0 par identit´e remarquable, d’o`u le r´esultat.
CQFD
Propri´et´es 3.4.1 (ces propri´et´es d´efinissent une norme)
∀u, v ∈Rn,∀λ∈R,
i) kuk= 0 ⇐⇒ u= 0,
ii) kλ.uk=|λ|.kuk,
iii) ku+vk ≤ kuk+kvk(exo.).
Exercice 3.5 De la mˆeme mani`ere qu’avec la valeur absolue, montrer que
∀u, v ∈Rn,| kuk−kvk | ≤ ku−vk.
Remarque 3.6 La norme euclidienne d´efinie une distance sur le plan en prenant pour A(xA, yA)
et B(xB, yB)deux points du plan
d(A, B) = AB =k−→ ABk=p(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
Quand on travaille avec cette distance, on parle de g´eom´etrie euclidienne.
Proposition-d´efinition 3.7 L’angle de deux vecteurs non nuls −→ uet −→ vdu plan euclidien
muni d’un rep`ere orthonorm´e est l’unique r´eel α(modulo 2π) tel que −→ u .−→ v=k−→ uk.k−→ vk.cos(α)
et tel que le signe de sin αest celui de xuyv−xvyu.
Exercice 3.8 A quelle condition a-t-on l’´egalit´e ku+vk=kuk+kvk?
Exercice 3.9 A quelle condition sur leur ´equation cart´esienne deux droites sont-elles perpen-
diculaire ?
Exercice 3.10 Soit ABC un triangle non-d´eg´en´er´e (i.e. dont les 3 cˆot´es ne sont pas align´es).
´
Ecrire BC en fonction de AB et AC.

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Rep`ere orthonorm´e.
Un rep`ere orthonorm´e de R2est une base {−→ e= (xe, ye),−→ f=xf, yf)}avec k−→ ek=k−→ fk= 1
et −→ e .−→ f=0.
Si de plus xeyf−xfye>0, on parle de rep`ere orthonorm´e direct.
La base canonique est un rep`ere orthonorm´e direct.
3.2 Cercle.
Un cercle de centre Aet de rayon rest, par d´efinition, l’ensemble des point du plan plac´es `a
une distance rde A.
On en d´eduit dont le cercle de centre A(xA, yA) et de rayon rest
C(A, r) := {M(x, y)∈R2/(x−xA)2+ (y−yA)2=r2}.
Exercice 3.11 Soient A(xA, yA)et B(xB, yB), trouver l’´equation du cercle de diam`etre [AB].
Indication : Prendre un point M(x, y)du cercle. Que v´erifie le triangle ABM (en profiter
pour le montrer) ?
Exercice 3.12 Soit Cun cercle de centre A(xA, yA)et de rayon r. Soit Mun point de C. Il
existe une unique tangente `a Cpassant par M. Quelle est son ´equation ?