Plan vectoriel 1 Définitions

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Arthur LANNUZEL
le 13 Décembre 2005
http ://utbmal.chez-alice.fr
Plan vectoriel
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Définitions
Dans le plan affine R2 , considérons l’ensemble B des bipoints (A, B) avec A, B ∈ R2 . Sur
cet ensemble, deux bipoints (A, B) , (C, D) sont dits equipollents ssi ABDC est un parallèlogramme.
−→
−→
Définition 1.1 On appelle plan vectoriel, l’ensemble des vecteurs AB de R2 où AB est l’ensemble des bipoints equipollents à (A, B).
−→ −−→
Remarque 1.2 i) Si (A, B) et (C, D) sont equipollents alors AB = CD.
ii) L’ensemble des vecteurs est en bijection avec R2 (il suffit de fixer un point O et d’envoyer
−−→
le point M sur le vecteur OM ).
iii) Soit O le point de coordonnées (0, 0), et I et J de coordonnées respectives (1, 0) et (0, 1).
−→ →
−→
−
→
−
−
→ −
→
En notant i := OI et j := OJ on peut alors exprimer tout vecteur en fonction de i et j .
−−→
−−→
−
→
−
→
Si les coordonnées de M sont (x, y) alors OM = x. i + y. j . On note alors OM = (x, y)
iv) On représentera le plan vectoriel en choisissant un repère orthonormé direct de la façon
suivante :
DESSIN
Opérations du plan vectoriel.
−→ −→ −−→
On peut additionner des vecteurs : AB+AC = AD où D est le point du plan tel que (A, B, C, D)
−→
−→
−→ −→
est un parallélogramme. Si AB = (x, y) et AC = (x0 , y 0 ) alors AB + AC = (x + x0 , y + y 0 ). Cette
→
−
loi interne est associative, commutative, admet un élément neutre ( O = (0, 0) est le vecteur
−
→ →
→
−
nul : ∀−
u ∈ R2 , →
u + 0 =−
u .) et tout élément du plan vectoriel admet un opposé (l’opposé de
−
→
u = (xu , yu ) est −u = (−xu , −yu )).
−−→
−−→
Soit λ ∈ R. On peut multiplier un vecteur OM = (x, y) par λ : λ.OM = (λ.x, λ.y) (loi
externe).
2
Si λ, µ ∈ R et u, v sont deux vecteurs alors
λ.(µ.u) = (λµ).u, λ.(u + v) = λ.u + λ.v, (λ + µ).u = λ.u + µ.u, 1.u = u.
Remarque 1.3 i) Les propriétés précédente définissent un espace vectoriel sur R.
−→ −−→ −→
ii) On a la relation de Chasles : AB + BC = AC.
Définition 1.4 Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si il existe λ, µ ∈ R avec (λ, µ) 6=
−
→
(0, 0) tels que λ.u + µ.v = 0 .
Sinon, ils sont dits linéairement indépendants.
Proposition 1.5 Deux vecteurs u = (x, y) et v = (x0 , y 0 ) sont linéairement indépendants ssi
xy 0 − x0 y 6= 0.
Exercice 1.6 ABC est un triangle
−−→
−→ −→
1. Exprimer AM en fonction de AB et AC dans chacun des cas suivants :
−−→ −→ −→
a) 2AM + AC = AB,
−−→ −−→ −−→ −
→
b) M A + M B + M C = 0 .
−−→
−→
2. Déterminer AM en fonction de AB dans chacun des cas suivants :
−−→
−−→ −
→
a) M A + 2M B = 0 ,
−−→
−−→
b) 4M A = 5M B.
Bases.
−
→
→
Une base de R2 est un couple {−
e , f } de vecteurs libres.
→
− −
→
{ i , j } est une base (dite canonique) de R2 .
−
→
→
Proposition 1.7 Soit {−
e , f } une base de R2
→
−
→
→
−
Pour −
w = (x, y) ∈ R2 , il existe un unique couple (Xw , Yw ) tel que −
w = Xw .→
e +Yw . f . (Xw , Yw )
−
→
→
→
sont les coordonnées de −
w dans la base (−
e , f ).
−
→ −
→
Les coordonnées de w dans la base { i , j } sont (x, y).
Exercice 1.8 Comment passe-t-on d’une base à l’autre ? (penser aux matrices)
2
Droites.
−→
Définition 2.1 On appelle droite vectoriel engendrée par AB avec A 6= B l’ensemble des
−→
vecteurs colinéaires à AB.
−−→
La droite (affine) passant par A et B est l’ensemble des points M du plan tels AM appartienne
−→
à la droite vectorielle engendrée par AB.
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non-nul appartenant à la droite vectorielle
associée.
3
−→ −→
Proposition 2.2 1) Trois points A, B, C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires.
2) Une droite est définie par la donnée d’un point et d’un vecteur directeur ou par la donnée
de deux points.
3) Deux droites sont parallèles si elles sont associée à la même droite vectorielle. Ou si leurs
vecteurs directeurs sont colinéaires.
Equation paramétrique et équation cartésienne d’une droite.
La définition d’une droite permet de construire deux types d’équations suivant l’interprétation :
1 - La définition d’une droite vectorielle nous donne l’équation paramétrique de la droite
passant par A(xA , yA ) et B(xB , yB ) :
l’ensemble des points M (x, y) de la droite vérifient (x, y) = (xA , yA )+t.(xB −xA , yB −yA ), t ∈ R,
ce qui nous donne
½
x = xA + t.(xB − xA )
y = yA + t.(yB − yA )
2 - La proposition ci-dessus nous donne l’équation cartésienne de la droite passant par
A(xA , yA ) et B(xB , yB ) :
l’ensemble des points M (x, y) de la droite vérifient (x − xA ).(yB − yA ) = (y − yA ).(xB − xA ), ce
qui nous donne
(y − yA ).(xB − xA ) − (x − xA ).(yB − yA ) = 0
ou sous la forme réduite
y=
yB − yA
.(x − xA ) + yA
x B − xA
yB −yA
xB −xA
s’appelle le coefficient directeur de la droite (AB). Il ne dépend pas des deux points
distincts choisis sur la droite.
Etant donnée l’équation cartésienne réduite d’une droite : y = ax + b, son coefficient directeur
→
est a, elle passe par le point de coordonnées (0, b) et un vecteur directeur est −
u = (1, a).
Exercice 2.3 A quelle condition sur leur équation cartésienne deux droites sont-elles parallèles ?
3
3.1
Géométrie euclidienne.
Produit scalaire, norme et distance euclidiennes.
−
→
Définition 3.1 1) Le produit scalaire de 2 vecteurs →
u = (xu , yu ) et −
v = (xv , yv ) du plan
muni d’un repère orthonormé est le réel
−
→
−
u .→
v = xu .xv + yu .yv .
2) Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
4
→
→
→
Proposition 3.2 Soit 3 vecteurs −
u = (xu , yu ), −
v = (xv , yv ) et −
w = (xw , yw ) du plan, λ, µ ∈
R. On a
→
→
−
→
(i) −
u .−
v =→
v .−
u (le produit scalaire est commutatif ).
→
−
→
−
−
→
→
→
→
(ii) u .(λ. v + µ.→
w ) = λ.−
u .−
v + µ.−
u .−
w (distributivité).
−
→
−
→
(iii) u . 0 = 0.
→
→
(iv) −
u .−
u ≥ 0.
→
−
−
→
→
−
→
(v) u . u = 0 ⇐⇒ −
u = 0.
→
Définition 3.3 La norme (euclidienne) d’un vecteur −
u = (xu , yu ) du plan est
√
p
−
−
→
k→
uk= →
u .−
u = x2u + yu2 .
Théorème 3.4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
→
−
Soient 2 vecteurs −
u = (xu , yu ) et →
v = (xv , yv ) du plan.
→
→
→
→
|−
u .−
v | ≤ k−
u k.k−
v k.
Preuve.
−
→
k→
u k2 .k−
v k2 = x2u x2v + yu2 yv2 + x2u yv2 + yu2 x2v ,
2
−
→
−
→
( u . v ) = x2u x2v + yu2 yv2 + 2xu xv yu yv .
Or x2u yv2 + yu2 x2v − 2xu xv yu yv ≥ 0 par identité remarquable, d’où le résultat.
CQFD
Propriétés 3.4.1 (ces propriétés définissent une norme)
∀u, v ∈ Rn , ∀λ ∈ R,
i) kuk = 0 ⇐⇒ u = 0,
ii) kλ.uk = |λ|.kuk,
iii) ku + vk ≤ kuk + kvk (exo.).
Exercice 3.5 De la même manière qu’avec la valeur absolue, montrer que
∀u, v ∈ Rn , | kuk − kvk | ≤ ku − vk.
Remarque 3.6 La norme euclidienne définie une distance sur le plan en prenant pour A(xA , yA )
et B(xB , yB ) deux points du plan
p
−→
d(A, B) = AB = kABk = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
Quand on travaille avec cette distance, on parle de géométrie euclidienne.
→
→
Proposition-définition 3.7 L’angle de deux vecteurs non nuls −
u et −
v du plan euclidien
−
→
−
→
→
−
muni d’un repère orthonormé est l’unique réel α (modulo 2π) tel que u . v = k−
u k.k→
v k. cos(α)
et tel que le signe de sin α est celui de xu yv − xv yu .
Exercice 3.8 A quelle condition a-t-on l’égalité ku + vk = kuk + kvk ?
Exercice 3.9 A quelle condition sur leur équation cartésienne deux droites sont-elles perpendiculaire ?
Exercice 3.10 Soit ABC un triangle non-dégénéré (i.e. dont les 3 côtés ne sont pas alignés).
Écrire BC en fonction de AB et AC.
5
Repère orthonormé.
−
→
→
−
→
→
Un repère orthonormé de R2 est une base {−
e = (xe , ye ), f = xf , yf )} avec k−
e k = kf k = 1
→
−
→
et −
e . f =0.
Si de plus xe yf − xf ye > 0, on parle de repère orthonormé direct.
La base canonique est un repère orthonormé direct.
3.2
Cercle.
Un cercle de centre A et de rayon r est, par définition, l’ensemble des point du plan placés à
une distance r de A.
On en déduit dont le cercle de centre A(xA , yA ) et de rayon r est
C(A, r) := {M (x, y) ∈ R2 /(x − xA )2 + (y − yA )2 = r2 }.
Exercice 3.11 Soient A(xA , yA ) et B(xB , yB ), trouver l’équation du cercle de diamètre [AB].
Indication : Prendre un point M (x, y) du cercle. Que vérifie le triangle ABM (en profiter
pour le montrer) ?
Exercice 3.12 Soit C un cercle de centre A(xA , yA ) et de rayon r. Soit M un point de C. Il
existe une unique tangente à C passant par M . Quelle est son équation ?