Université François Rabelais de Tours Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique Interrogation n◦2, durée 1h UE 6-3 Algèbre Semestre 6 Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée. Le barème est indicatif. Exercice 1. (2 points) Soit E un K-espace vectoriel. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et B ∗ = (e∗1 , . . . , e∗n ) sa base duale. 1) Compléter : ∀x ∈ E, x = n X et . . . ei ∀ϕ ∈ E ∗ , ϕ = n X . . . e∗i . i=1 i=1 2) On suppose que E = R2 [X]. Pour tout a ∈ R on pose ϕa : R2 [X] −→ R . P 7−→ P (a) (a) Montrer que B ∗ = (ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ) est une base de E ∗ . (b) Déterminer la base préduale de B ∗ . (c) Déterminer λ0 , λ1 , λ2 tels que ψ = λ0 ϕ0 + λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 où ψ ∈ E ∗ est définie par ψ(P ) = P ′ (1). Exercice 2. (6 points) Soit E un K-espace vectoriel et soit u ∈ L (E). On rappelle que t u est définie par : t u : E ∗ −→ E ∗ . f 7−→ f ◦ u 1) Soit D ⊂ E ∗ . Montrer que D◦ = {x ∈ E | hϕ, xi = 0, ∀ϕ ∈ D} est un s.e.v de E. On supposera dorénavant que D est un sous-espace vectoriel de E ∗ . 2) Montrer que dim D◦ = dim(E) − dim D. [ On commencera par compléter une base de D en une base de E ∗ .] 3) Donner une base de D◦ lorsque E = R4 et D = Vect(e∗1 − e∗2 , e∗2 − e∗3 ). 4) On suppose que D est stable par t u. Montrer que D◦ est stable par u. 5) On suppose qu’il existe un s.e.v G de E ∗ , stable par t u et tel que E ∗ = D ⊕ G. (a) Montrer que E = D◦ ⊕ G◦ . (b) Soient B une base de E telle que B = (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en ). {z } | {z } | base de D◦ base de G◦ Donner la forme de la matrice de u dans la base B. Exercice 3. (2 points) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit u ∈ L (E) et soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E telle que la matrice de u dans B est triangulaire supérieure. Déterminer une base de E ∗ telle que t u soit triangulaire supérieure. 1