Interrogation n 2, durée 1h

Université François Rabelais de Tours
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
Interrogation n◦2, durée 1h
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affir-
mation doit être justifiée. Le barème est indicatif.
Exercice 1. (2 points) Soit Eun K-espace vectoriel. Soit B= (e1,...,en)une base de Eet B∗=
(e∗
1,...,e∗ n)sa base duale.
1) Compléter :
∀x∈E, x =
n
X
i=1
...eiet ∀ϕ∈E∗, ϕ =
n
X
i=1
...e∗
i.
2) On suppose que E=R2[X]. Pour tout a∈Ron pose
ϕa:R2[X]−→ R
P7−→ P(a).
(a) Montrer que B∗= (ϕ0, ϕ1, ϕ2)est une base de E∗.
(b) Déterminer la base préduale de B∗.
(c) Déterminer λ0, λ1, λ2tels que ψ=λ0ϕ0+λ1ϕ1+λ2ϕ2où ψ∈E∗est définie par ψ(P) = P′(1).
Exercice 2. (6 points) Soit Eun K-espace vectoriel et soit u∈L(E). On rappelle que tuest définie
par :
tu:E∗−→ E∗
f7−→ f◦u.
1) Soit D⊂E∗. Montrer que D◦={x∈E| hϕ, xi= 0,∀ϕ∈D}est un s.e.v de E.
On supposera dorénavant que Dest un sous-espace vectoriel de E∗.
2) Montrer que dim D◦= dim(E)−dim D.
[On commencera par compléter une base de Den une base de E∗.]
3) Donner une base de D◦lorsque E=R4et D= Vect(e∗
1−e∗ 2, e∗ 2−e∗ 3).
4) On suppose que Dest stable par tu. Montrer que D◦est stable par u.
5) On suppose qu’il existe un s.e.v Gde E∗, stable par tuet tel que E∗=D⊕G.
(a) Montrer que E=D◦⊕G◦.
(b) Soient Bune base de Etelle que B= (e1,...,ep
|{z }
base de D◦
, ep+1,...,en
|{z }
base de G◦
).
Donner la forme de la matrice de udans la base B.
Exercice 3. (2 points) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Soit u∈L(E)et soit B=
(e1,...,en)une base de Etelle que la matrice de udans Best triangulaire supérieure. Déterminer une
base de E∗telle que tusoit triangulaire supérieure.
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