Unité d`Enseignement : Descriptif CODE DDMAT112 Discipline
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Unité d'Enseignement : Descriptif CODE DDMAT112 Discipline Titre Mathématiques Algèbre linéaire et géométrie élémentaire Responsable(s) : Bernard Ycart Coordonnées : [email protected], tél: 04 76 51 49 95 UE ouverte au(x) semestre(s) : S1 Pré-requis : Programme du lycée UE obligatoire dans les parcours : CHI, BIN, PCI, IAG, INF, MAI, MAT, INM, PHY, PHB, PHC, PMM UE à choix dans les parcours : Compétences visées : Première partie : logique et langage mathématique. Apprentissage des quantificateurs et des règles de la logique. Les exemples sont fournis par les nombres entiers, réels ou complexes introduits au collège et lycée. Deuxième partie : apprentissage des notions de base de l'algèbre linéaire et de la géométrie. L'étudiant apprend à utiliser et à manipuler des définitions abstraites pour construire des raisonnements. Activité Heures % Cours Magistral (CM) 18 14 Travaux Dirigés (TD) 24 19 CM et TD intégrés 24 19 Travail personnel estimé 60 48 TOTAL 126 100 Le détail de la nature des épreuves de controle continu et des épreuves terminales de première et de deuxième session sera communiqué au début du semestre. Programme résumé : A- Le langage mathématique : prise de contact Eléments de logique : élément, ensemble, appartenance, complémentaire, intersection, réunion, inclusion, égalité, partition (relation d'équivalence), propositions, quantificateurs, négation, conjonction, disjonction, implication, implication réciproque, contraposée, équivalence. Fonctions et applications : domaine de départ et d'arrivée, domaine de définition, image directe, image réciproque, restriction, prolongement, composition, injections, surjections, bijections Exemples de raisonnements : raisonnement direct, par disjonction des cas, par contraposition, équivalence prouvée par deux implications, raisonnement par l'absurde, etc (à traiter en TDI pour proposer des exemples adaptés à chaque public) B- Les bases du calcul algébrique dans R et C Manipulation des symboles $sum$ et $prod$ illustrée par les formules à connaître et les suites numériques : identités remarquables, formule du binôme de Newton, somme des premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique Les nombres complexes (indispensable en particulier aux parcours physique, chimie) : forme algébrique et forme trigonométrique, écriture de certaines transformations du plan à l'aide des nombres complexes, les formules d'Euler et de Moivre, linéarisation et application au calcul des primitives de polynômes trigonométriques, racines carrées d'un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes C- Algèbre linéaire élémentaire et géometrie dans le plan et dans l'espace R^n et ses sous-espaces vectoriels : combinaison linéaire de vecteurs, définition de sous-espace vectoriel, espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs, famille génératrice, vecteurs linéairement indépendants, bases, définition et caractérisation, calcul pratique du rang d'un système de vecteurs de R^n et d'une base de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs par la méthode de Gauss (les coordonées des vecteurs sont écrits en colonnes) Applications linéaires de R^p dans R^n et calcul matriciel : définition et écriture relativement aux bases canoniques de R^p dans R^n, noyau et image d'une application linéaire, retour sur les notions d'injection, surjection, bijection introduites au début du semestre, détermination pratique d'une base de l'image, rang d'une application linéaire. Opérations sur les matrices introduites en s'appuyant sur le lien avec les applications linéaires, caractérisations d'une matrice carrée inversible. Discussion et résolution de systèmes linéaires. Méthode de Gauss, équations et inconnues principales, inconnues secondaires, rang du système, lien avec les applications linéaires, méthode de Gauss-Jordan pour le calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible. D- Le plan et de l'espace (notions indispensables aux parcours physique). Géom'etrie vectorielle et affine : vecteurs colinéaires, vecteurs indépendants, déterminants d'ordre 2 et 3, représentations paramétriques et implicites de droites et de plans, Eléments de géométrie euclidienne : produit scalaire, cosinus d'un angle de deux vecteurs, bases orthonormées directes ou indirectes, produit mixte, produit vectoriel, retour sur les équations de droites et de plan, écriture matricielle de certaines transformations du plan. Les divers points pourront être traités dans un ordre différent suivant les parcours.
