Exercice 1 √ 2 et l`algorithme de Babylone Exercice 2

Devoir à la maison no 4
2003 - 2004
Exercice 1
√
2 et l’algorithme de Babylone
√
Partie A
Où l’on montre que√ 2 n’est pas rationnel...
On se propose de démontrer
que 2 est un nombre irrationnel en utilisant un raisonnement par l’absurde.
√
Hypothèse formulée : 2 est un nombre rationnel.
√
p
1. Soit p et q deux entiers naturels non nuls tels que soit l’écriture sous forme irréductible de 2.
q
Vérifier que p2 est pair.
2. Montrer que si p est impair alors p2 est impair. Que peut-on en déduire concernant p ?
3. On pose alors p = 2n (n ∈ N). Montrer que q est pair puis conclure.
√
Partie B
Où l’on cherche des valeurs
approchées rationnelles de 2...
8
<u 0 = 2
Soit (un ) la suite définie sur N par :
1
2
:un+1 = (un +
) ∀n ∈ N
2
un
√
√
(un − 2)2
1. Montrer que : ∀n ∈ N un+1 − 2 =
2un
√
2. En déduire que (un ) est minorée par 2.
3. Etudier les variations puis la convergence de (un ).
4. Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle ?
2
5. Soit (yn ) la suite définie sur N par : ∀n ∈ N yn =
un
√
a) Montrer que (yn ) est majorée par 2 puis étudier ses variations.
√
√
2 + 1 6 u n + yn 6 2 + 2
b) Prouver que : ∀n ∈ N
(un − yn )2
(un − yn )2
6
2(un + yn )
4
Ą Ń2n −1
1
d) En déduire que : ∀n ∈ N 0 6 un − yn 6
4
e) Que peut-on dire des suites (un ) et (yn ) ?
√
6. En déduire une valeur approchée rationnelle de 2 à 10−9 près.
√
7. Comment qualifieriez-vous la convergence de (un ) vers 2 ? Justifier.
c) Etablir que : ∀n ∈ N
Exercice 2
0 6 un+1 − yn+1 =
Soit f la fonction définie sur R −
ę
π
2
ľ
+ kπ (k ∈ Z) par f (x) = tan(x).
Ť
Ť
1. Montrer que f est impaire et π - périodique. Dans la suite, on étudie f sur I = 0; π2 .
1
= 1 + (f (x))2
cos2 (x)
3. Etudier les variations de f sur I puis dresser son tableau de variations complet sur cet intervalle.
tan(x) − 1
4. A l’aide des questions précédentes, déterminer : limπ
x→ 4
x − π4
2. Justifier la dérivabilité de f sur I puis établir que : ∀x ∈ I
f 0 (x) =
TS1