Exercice 1 √ 2 et l`algorithme de Babylone Exercice 2

2003 - 2004 Devoir à la maison no4TS1
Exercice 1 √2et l’algorithme de Babylone
Partie A Où l’on montre que √2n’est pas rationnel...
On se propose de démontrer que √2est un nombre irrationnel en utilisant un raisonnement par l’absurde.
Hypothèse formulée : √2est un nombre rationnel.
1. Soit pet qdeux entiers naturels non nuls tels que p
qsoit l’écriture sous forme irréductible de √2.
Vérifier que p2est pair.
2. Montrer que si pest impair alors p2est impair. Que peut-on en déduire concernant p?
3. On pose alors p=2n(n∈N). Montrer que qest pair puis conclure.
Partie B Où l’on cherche des valeurs approchées rationnelles de √2...
Soit (un)la suite définie sur Npar : 8
<
:
u0=2
un+1 =1
2(un+2 un
)∀n∈N
1. Montrer que : ∀n∈Nun+1 −√2=(un−√2)2
2un
2. En déduire que (un)est minorée par √2.
3. Etudier les variations puis la convergence de (un).
4. Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle ?
5. Soit (yn)la suite définie sur Npar : ∀n∈Nyn=2
un
a) Montrer que (yn)est majorée par √2puis étudier ses variations.
b) Prouver que : ∀n∈N√2+16un+yn6√2+2
c) Etablir que : ∀n∈N06un+1 −yn+1 =(un−yn)2
2(un+yn)6(un−yn)2 4
d) En déduire que : ∀n∈N06un−yn6Ą1
4Ń2n−1
e) Que peut-on dire des suites (un)et (yn)?
6. En déduire une valeur approchée rationnelle de √2à10−9près.
7. Comment qualifieriez-vous la convergence de (un)vers √2? Justifier.
Exercice 2
Soit fla fonction définie sur R−ęπ
2+kπ (k∈Z)ľpar f(x)=tan(x).
1. Montrer que fest impaire et π- périodique. Dans la suite, on étudie fsur I=Ť0; π
2Ť.
2. Justifier la dérivabilité de fsur Ipuis établir que : ∀x∈If
0(x)= 1
cos2(x)=1+(f(x))2
3. Etudier les variations de fsur Ipuis dresser son tableau de variations complet sur cet intervalle.
4. A l’aide des questions précédentes, déterminer : lim
x→π
4
tan(x)−1
x−π
4