DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES 3A A RENDRE POUR

DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES 3A A RENDRE POUR LUNDI 02 MARS 09
Objectifs :
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Revoir quelques notions sur les probabilités.
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Démontrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel.
Effectuer des calculs avec des radicaux.
Effectuer une recherche sur le mathématicien Pierre de Fermat.
Résoudre un problème de trigonométrie.
EXERCICE 1 Faire l’exercice 46 p 200 du livre.
EXERCICE 2 : Faire l’exercice 61 p 232
EXERCICE 3 : Faire les exercices 8 et 9 de la fiche méthode du chapitre racines carrées en recopiant la
consigne.
EXERCICE 4 : Faire une recherche courte (10 lignes maxi) sur le mathématicien Pierre de Fermat, insérer
une illustration. Qu’appelle-t-on les nombres de Fermat (10 lignes maxi)? On synthétisera ce travail sur une
feuille blanche A4 que l’on collera après correction du professeur en introduction du chapitre
arithmétique.
EXERCICE 5 :
Pour démontrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel, on va faire un raisonnement par l’absurde.
On va pour cela supposer que ce nombre est un nombre rationnel et on aboutira à une absurdité, ce qui
montrera que notre hypothèse de départ était fausse.
1) Donner la définition d’un nombre rationnel (voir cours).
𝑎
2) On suppose qu’il existe deux nombres entiers relatifs a et b premiers entre eux tels que √2 = 𝑏.
a) En déduire que 2 =
𝑎2
𝑏2
b) En déduire que le nombre 𝑎2 est un nombre pair.
On admet que si 𝑎2 est un nombre pair, alors a est aussi un nombre pair. Alors, il existe un
nombre entier k tel que a = 2𝑘.
(cf DM précédent pour la démonstration)
c) En déduire grâce au a) que 𝑏2 est un nombre pair lui aussi.
𝑆𝑖 𝑏 2 est un nombre pair lui aussi, alors b l’est aussi, donc il existe un entier k’ tel que b = 2k’.
On en déduit d’après b) et c) que les nombres a et b sont tous les deux divisibles par deux.
d) Quelle est la contradiction avec les hypothèses ?
e) Que peut-on en déduire sur le nombre √2 ?