2016 DSI MCW SRI (15)

Page
Examen National du Brevet de Technicien Supérieur
Session de Mai 2016
2
- Sujet -
Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation
Filière:
DSI – SRI - MCW
Durée:
Épreuve:
MATHÉMATIQUES
Coefficient:
6 points
1
0 ,5
2 Heures
15
Exercice 1 :
On considère les matrices suivantes :
 2 1
1 0
 1 1
1  1 1
A  
 , D  
 , P  
 et Q  

2  1 1
 1 2
0 3
 1 1
1. Montrer que le polynôme caractéristique de A est : P    2  4  3 .
 
A.
En déduire les valeurs propres de
1 ,5
1
2.
P Q et Q P et en déduire que P est inversible puis calculer P 1 .
b- Vérifier que : A  P D P1 .
a- Calculer :
3. On considère le système différentiel linéaire :
 x  t   2 x t   y t 
E : 
 y  t   x t   2 y  t 
 x t  
 x t  
 et
On pose :
X t   
Y  t    1   P 1 X  t  .
 y t  
 y t  


 1 
a- Exprimer X  t  en fonction de A et de X t  .
 
1
En déduire que :
E
 Y  t   D Y  t  .
1
b- Déterminer x1  t  et y1  t  en fonction de
1
c- En déduire
4 points
x t  et y t  les solutions du système  E  .
Exercice 2 :
I. On considère l’intégrale suivante :
I
1
1. Montrer que :
0 ,5
2. a- Vérifier que : 
1
b- On pose
Calculer
1 ,5
t.
I 

1
dx
.
x  x  1 x  2
est convergente
x  1,
I   

1
1
1
1
1



2 x x  1 2  x  2
x  x  1 x  2 
dx
.
x  x 1 x  2
I   , puis en déduire la valeur de I .
II. Etudier la convergence des intégrales suivantes :
A 

0
e x dx
et
B 
4
1
dx
.
x x 1
.
Sujet de l’Examen National du Brevet de Technicien Supérieur
Filière: DSI – SRI - MCW
6 points
Page
2
Épreuve de : Mathématiques
2
Exercice 3 :
I. Soit la série
1,5
- Session de Mai 2016 -
 un
n 1
de terme général un tel que pour tout n  1 : un 
1- Montrer que les suites
 un n  1 et  n1² 
En déduire la nature de la série de



n 1
un .

1
.
n  n  1
sont équivalentes au voisinage de  .
n 1
0,5
2.
a- Vérifier que :
1
1
1


pour
n
n 1
n  n 1
tout

n
1
b- Calculer
Sn avec : S n 

k 1
n 1
uk et en déduire

un .
n 1
II. Etudier la nature des séries numériques suivantes :

n 1
3 1
4 points
n
e
n2
,
n
n

n 1 n !
et

n0
 1
n
n²  1
.
Exercice 4 :
Soit
X
la variable aléatoire réelle qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre
d’une ampoule.
On admet que
X
suit la loi de Poisson de paramètre
 5.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
1
a- Il n’y a aucun défaut sur l’ampoule.
1
b- Il y’a au moins deux défauts sur l’ampoule.
1
c- Le nombre de défauts est compris entre deux et cinq (bornes comprises).
1
2. Calculer l’espérance et l’écart-type de
X.
Fin de l’épreuve