2016 DSI MCW SRI (15)

Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation
Examen National du Brevet de Technicien Supérieur
Session de Mai 2016
- Sujet -
Page
1 2
Filière: DSI – SRI - MCW Durée: 2 Heures
Épreuve: MATHÉMATIQUES Coefficient:
15
6 points Exercice 1 :
On considère les matrices suivantes :
2 1
1 2
A   , 1 0
0 3
D 
, 1 1
1 1
P   et 1 1
1
21 1
Q 
1 1. Montrer que le polynôme caractéristique de Aest :
24 3P
   .
En déduire les valeurs propres de A.
1 ,5 2. a- Calculer : P Q et Q P et en déduire que P est inversible puis calculer 1 P.
0 ,5 b- Vérifier que : 1 A P D P  .
3. On considère le système différentiel linéaire :
2
: 2
x t x t y t
Ey t x t y t
On pose :
x t
X t y t  et
11
1
x t
Y t P X t
y t 
  .
1 a- Exprimer
X t
en fonction de Aet de
X t
.
En déduire que :
E Y t D Y t 
.
1 b- Déterminer
1
x t et
1
y t en fonction de t.
1 c- En déduire x t et y t les solutions du système
E.
4 points Exercice 2 :
I. On considère l’intégrale suivante :
1
1 2 dx Ix x x
 .
1 1. Montrer que : I est convergente
0 ,5 2. a- Vérifier que : 1 ,x
1 1 1 1
2 1
1 2 2 2
x x
x x x x    .
1 b- On pose
1 1 2
dx Ix x x
 .
Calculer I , puis en déduire la valeur de I .
1 ,5 II. Etudier la convergence des intégrales suivantes :
0
x
A e dx  et 4
1 1
dx
Bx x
 .

Sujet de l’Examen National du Brevet de Technicien Supérieur - Session de Mai 2016 -
Filière: DSI – SRI - MCW Épreuve de : Mathématiques
Page
2
2
6 points Exercice 3 :
I. Soit la série 1
n
n
u
de terme général
n
u
tel que pour tout
1
n
:
1
1
nn n
u
.
1,5 1- Montrer que les suites
1
nn
u
et
1
1²
n
n
  sont équivalentes au voisinage de
.
En déduire la nature de la série de 1
n
n
u
.
0,5 2. a- Vérifier que :
1 1 1
1
1
n n
n n    pour tout
1
n
1 b- Calculer
n
S
avec : 1
n
n
k
k
S u
et en déduire 1
n
n
u
.
II. Etudier la nature des séries numériques suivantes :
3 1
2
1
n
n
e
n
 , 1
!
n
n
n
n
 et
0
1
² 1
n
nn
 .
4 points Exercice 4 :
Soit
X
la variable aléatoire réelle qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre
d’une ampoule.
On admet que
X
suit la loi de Poisson de paramètre
5
.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
1 a- Il n’y a aucun défaut sur l’ampoule.
1 b- Il y’a au moins deux défauts sur l’ampoule.
1 c- Le nombre de défauts est compris entre deux et cinq (bornes comprises).
1 2. Calculer l’espérance et l’écart-type de
X
.
Fin de l’épreuve