devoir de synthese 1 bac sc
Exercice 1 ( 7pts)
On considère la fonction f : x 1
1+
1) Vérifier que l'ensemble de définition de f est ]-1,1 ].
2) a) Montrer que f est dérivable sur ]-1 , 1] et que pour tout réel x de ]-1 , 1[ on a :
=1
(+ 1)21
1 +
b) En déduire que f admet une fonction réciproque 1définie sur un intervalle J qu'on
déterminera.
c) Déterminer l'expression de 1() pour x réel de J.
3) Pour x réel de ]0,
4 ] , on pose g(x) =f [(tan )2]
a) Vérifier que g (x) = (2)
b) Montrer que g réalise une bijection de ]0,
4 ] sur [0,1[
c) Etudier la dérivabilité de g à gauche de
4
d) En déduire que 1 est dérivable à droite en 0 et donner (1) '(0 )
Exercice 2( 6pts)
I. l’équation (E) : 3 4 + 2 +7 + 4 = 0 ou z désigne un nombre complexe
1) a) Montrer que (E) admet une solution réelle, noté 1
b) Déterminer les deux nombre complexe a et b , tel que pour tout nombre complexe
z ,on ait 3 4 + 2 +7 + 4 = 1 22(+)
2) Résoudre ( E)
II. Dans le plan muni d’un repère orthonormée (o , ,
), on considère les trois points A,
B et C d’affixe respective 1 , 2 + 2 i , 1 – i
1) Représenter A , B et C
2) Déterminer le module et un argument de 2+2
1 .
En déduire la nature de triangle OBC
3) Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC, Justifier votre affirmation
Exercice 3 (7pts)
Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec la copie.
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f(x) = 2+1
+ 1
1) Etudier les variations de f sur l’intervalle [0,2].
Montrer que si x 0,2 alors f (x) 0,2
2) ( ) () deux suite définies sur N par :
0 = 1 et pour tout entier naturel n, +1 =( )
0 = 2 et pour tout entier naturel n, +1 =( )
a) Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].
Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des
suites ( ) et ( ) en laissant apparents tous les traits de construction
b) Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :
Pour tout entier naturel n, 1 2
Pour tout entier naturel n, +1
On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que :
Pour tout entier naturel n, 1 2
Pour tout entier naturel n, +1
c) Montrer que pour tout entier naturel n , +1 +1 =
(+1)( + 1)
d) En déduire que pour tout entier naturel n,
0 et +1 +1 1
4 ( )
e) Montrer que pour tout entier naturel n , 1
4
f) . Montrer que les suites , sont deux suite adjacente convergent vers un
même réel φ . Déterminer la valeur exacte de φ
1 + 5
2 ≈ 1, 618 . . .
1
/
3
100%
