devoir de synthese 1 bac sc

Exercice 1 ( 7pts)
1−𝑥
On considère la fonction f : x
1+𝑥
1) Vérifier que l'ensemble de définition de f est ]-1,1 ].
2) a) Montrer que f est dérivable sur ]-1 , 1] et que pour tout réel x de ]-1 , 1[ on a :
−1
𝑓′ 𝑥 =
(𝑥 + 1)2
1−𝑥
1+𝑥
b) En déduire que f admet une fonction réciproque 𝑓 −1 définie sur un intervalle J qu'on
déterminera.
c) Déterminer l'expression de 𝑓 −1 (𝑥) pour x réel de J.
𝜋
3) Pour x réel de ]0,4 ] , on pose g(x) =f [(tan 𝑥)2 ]
a) Vérifier que g (x) =
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
𝜋
b) Montrer que g réalise une bijection de ]0,4 ] sur [0,1[
c) Etudier la dérivabilité de g à gauche de
𝜋
4
d) En déduire que 𝑔−1 est dérivable à droite en 0 et donner (𝑔−1 ) '(0 )
Exercice 2( 6pts)
I. l’équation (E) : 𝑧 3 − 4 + 𝑖 𝑧 2 + 7 + 𝑖 𝑧 − 4 = 0 ou z désigne un nombre complexe
1) a) Montrer que (E) admet une solution réelle, noté 𝑧1
b) Déterminer les deux nombre complexe a et b , tel que pour tout nombre complexe
z ,on ait 𝑧 3 − 4 + 𝑖 𝑧 2 + 7 + 𝑖 𝑧 − 4 = 𝑧 − 𝑧1
𝑧 − 2 − 2𝑖 (𝑎𝑧 + 𝑏)
2) Résoudre ( E)
II. Dans le plan muni d’un repère orthonormée (o , 𝑢, 𝑣 ), on considère les trois points A,
B et C d’affixe respective 1 , 2 + 2 i , 1 – i
1) Représenter A , B et C
2) Déterminer le module et un argument de
2+2 𝑖
1−𝑖
.
En déduire la nature de triangle OBC
3) Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC, Justifier votre affirmation
Exercice 3 (7pts)
Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec la copie.
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f(x) =
2𝑥+1
𝑥 +1
1) Etudier les variations de f sur l’intervalle [0,2].
Montrer que si x ∈ 0,2 alors f (x) ∈ 0,2
2) (𝑢𝑛 ) 𝑒𝑡 (𝑣𝑛 ) deux suite définies sur N par :
∗ 𝑢0 = 1 et pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛 )
∗ 𝑣0 = 2 et pour tout entier naturel n, 𝑣𝑛+1 = 𝑓(𝑣𝑛 )
a)
Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2].
Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des
suites (𝑢𝑛 ) et (𝑣𝑛 ) en laissant apparents tous les traits de construction
b) Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :
Pour tout entier naturel n, 1 ≤ 𝑣𝑛 ≤ 2
Pour tout entier naturel n, 𝑣𝑛+1 ≤ 𝑣𝑛
On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que :
Pour tout entier naturel n, 1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 2
Pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛+1
c) Montrer que pour tout entier naturel n , 𝑣𝑛+1 −
𝑢𝑛+1 =
𝑣𝑛 − 𝑢 𝑛
(𝑣𝑛 +1)( 𝑢 𝑛 + 1)
d) En déduire que pour tout entier naturel n,
1
𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 ≥ 0 et 𝑣𝑛+1 − 𝑢𝑛+1 ≤ 4 (𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 )
e) Montrer que pour tout entier naturel n , 𝑣𝑛 − 𝑢𝑛 ≤
f)
1 𝑛
4
. Montrer que les suites , 𝑣𝑛 𝑒𝑡 𝑢𝑛 sont deux suite adjacente convergent vers un
même réel φ . Déterminer la valeur exacte de φ
1+ 5
2
≈ 1, 618 . . .