D EVOIR SURVEILLÉ N° V : Fonction exponentielle et logarithme TS4 Vendredi 7 décembre 2 heure s α βγδǫηθφ χ λ µ ν +∞ ρ σ ω Exercice V1 Des équations ou inéquations Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1 2 4. e(x ) ≤ . e 2 5. e(x ) ≤ (ex )2 6. x(2ex − 1) ≥ 0. 1. ln(x + 4) + ln(x + 1) = ln(x + 9) 2. ex = −4 3. (ex − 3)2 = 9 Exercice V2 1. Factoriser le trinôme du second degré X 2 + X − 12, puis factoriser (ln x)2 + ln x − 12 pour tout x appartenant à ]0; +∞[. 2. Résoudre dans ]0; +∞[ l’équation (ln x)2 + ln x − 12 = 0. 3. Résoudre dans ]0; +∞[ l’inéquation (ln x)2 + ln x − 12 > 0 Exercice V3 Soit f définie sur [0; +∞[ par : ¶ µ 3 si x 6= 0 et f (0) = 0 f (x) = x 2 ln x − 2 ¡ → − → −¢ On note C f sa représentation graphique dans un repère orthonormé O; ı , . 1. On admet que f ′ (0) = 0. Que peut-on en déduire pour C f ? 2. Etudier la limite de f en +∞. 3. a) Justifier que f est dérivable sur ]0; +∞[ et déterminer la dérivée f ′ de f sur ]0; +∞[. b) Etudier f et dresser le tableau de variation de ¡f → − → −¢ c) Construire sommairement la courbe C f dans O; ı , (unité graphique 2 ). Exercice V4 Déterminer la limite de f en a dans les cas suivants : 1. f (x) = x − x ln x + 1 , x ln x + 5 2. f (x) = a = +∞ ln(1 + 3x) , ln(1 + 2x) Exercice V5 Soit P la fonction définie sur R par : P(x) = 2x 3 − x 2 − 13x − 6 1. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x : P(x) = (x + 2)(ax 2 + bx + c) 2. Étudier le signe de P(x) sur R. 3. Résoudre dans R l’inéquation : (E) : ln(x 2 + 1) + ln(2x − 1) 6 ln(3x + 1) + ln 5 a=0 Exercice V6 Partie A Soit f la fonction définie sur I = ]0; +∞[ par : f (x) = 3 − x − ln x 1. Déterminer les limites de f aux bornes de I. 2. Étudier les variations de f . 3. Montrer que l’équation (E) : f (x) = 0 admet une unique solution α dans I. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2 . 4. Déterminer le signe de f (x) sur I. Partie B Soit g la fonction définie sur I par : ¶ µ 1 g (x) = 1 − (2 − ln x) x 1. Déterminer les limites de g aux bornes de I. 2. Justifier que g est dérivable sur I puis montrer que, pour tout x de I : g ′ (x) = f (x) x2 3. Étudier les variations de g . 4. En utilisant l’égalité f (α) = 0, exprimer ln(α) en fonction de α. En déduire que : g (α) = (α − 1)2 α 5. Déduire de l’égalité précédente un encadrement de g (α) d’amplitude 0, 02. 6. Éudier le signe de g (x) sur I. Exercice V7 Bonus ! Dans cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Étudier la fonction définie par : µ ¶ 1 f (x) = 1 + ln 1 + 2 x 2