DEVOIR SURVEILLÉ N° V : Fonction exponentielle et logarithme

DEVOIR SURVEILLÉ N° V : Fonction exponentielle et logarithme
TS4 Vendredi 7 décembre 2 heure s
α β γ δ ǫ η θ φ χ λ µ ν + ∞ ρ σ ω
Exercice V1 Des équations ou inéquations
Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
1. ln(x+4) +ln(x+1) =ln(x+9)
2. ex= −4
3. (ex−3)2=9
4. e(x2)≤1
e.
5. e(x2)≤(ex)2
6. x(2ex−1) ≥0.
Exercice V2
1. Factoriser le trinôme du second degré X2+X−12, puis factoriser (lnx)2+lnx−12 pour tout xappartenant à ]0;+∞[.
2. Résoudre dans ]0;+∞[ l’équation (ln x)2+lnx−12 =0.
3. Résoudre dans ]0;+∞[ l’inéquation (lnx)2+lnx−12 >0
Exercice V3
Soit fdéfinie sur [0;+∞[ par :
f(x)=x2µlnx−3
2¶si x6= 0 et f(0) =0
On note Cfsa représentation graphique dans un repère orthonormé ¡O;−→ ı,−→ ¢.
1. On admet que f′(0) =0. Que peut-on en déduire pour Cf?
2. Etudier la limite de fen +∞.
3. a) Justifier que fest dérivable sur ]0;+∞[ et déterminer la dérivée f′de fsur ]0;+∞[.
b) Etudier fet dresser le tableau de variation de f
c) Construire sommairement la courbe Cfdans ¡O;−→ ı,−→ ¢(unité graphique 2 ).
Exercice V4
Déterminer la limite de fen adans les cas suivants :
1. f(x)=x−xln x+1
xlnx+5,a= +∞ 2. f(x)=ln(1+3x)
ln(1+2x),a=0
Exercice V5
Soit P la fonction définie sur Rpar :
P(x)=2x3−x2−13x−6
1. Déterminer trois réels a,bet ctels que, pour tout réel x:
P(x)=(x+2)(ax2+bx +c)
2. Étudier le signe de P(x) sur R.
3. Résoudre dans Rl’inéquation :
(E) : ln(x2+1)+ln(2x−1) 6ln(3x+1) +ln5

Exercice V6
Partie A
Soit fla fonction définie sur I =]0;+∞[par :
f(x)=3−x−ln x
1. Déterminer les limites de faux bornes de I.
2. Étudier les variations de f.
3. Montrer que l’équation (E) : f(x)=0 admet une unique solution αdans I. Déterminer un encadrement de αd’amplitude
10−2.
4. Déterminer le signe de f(x) sur I.
Partie B
Soit gla fonction définie sur I par :
g(x)=µ1−1
x¶(2−lnx)
1. Déterminer les limites de gaux bornes de I.
2. Justifier que gest dérivable sur I puis montrer que, pour tout xde I :
g′(x)=f(x)
x2
3. Étudier les variations de g.
4. En utilisant l’égalité f(α)=0, exprimer ln(α) en fonction de α. En déduire que :
g(α)=(α−1)2
α
5. Déduire de l’égalité précédente un encadrement de g(α) d’amplitude 0,02.
6. Éudier le signe de g(x) sur I.
Exercice V7 Bonus !
Dans cet exercice toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans
l’évaluation.
Étudier la fonction définie par :
f(x)=1+lnµ1+1
x2¶
2