Année Scolaire 2015 2016 Classe: TSB Durée: 2H Lycee de Keur Massar Cellule Pédagogique Mathématiques DEVOIR N◦ 2 DE MATHEMATIQUES ( 1er Semestre) Nombres Complexes Exercice : On considère l’équation z 3 + 9iz 2 + (12i − 22)z − 12i − 36 = 0 1 Montrer que (E) admet une solution solution réelle z1 que l’on déterminera. 2 Résoudre alors l’équation (E). 3 Dans le plan muni d’un repère (O,~u,~v ). On considère les points A(−2), B(−3i) et C(2 − 6i). a Calculer zA −zC zA −zB . En déduire son argument. b Que peut on en déduire pour les points A, B et C ? 4 On pose Z = √ 1+i(3+ 3+zB 1−i a Montrer que Z = √ 1+i 3 1−i .En déduire sa forme algébrique. b Donner la forme trigonométrie de Z. 7π c En déduire les valeurs exactes cos( 7π 12 ) et sin( 12 ) d Calculer Z 6 . Déterminer le plus grand entier n tel que Z n soit un imaginaire pur. © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © Devoir N◦ 4 de Mathématiques LKM Page 1/2 Année Scolaire 2015 2016 Classe: TSB Durée: 2H Lycee de Keur Massar Cellule Pédagogique Mathématiques Problème de Synthèse Partie A Soit g la fonction définie par g(x) = 1 + x2 − 2x2 ln x. 1 Etudier les variations de g. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution α ∈]1, 89; 190[ 2 En déduire le signe de g. Partie B Soit f la fonction définie par : x + ln (1 − x) ln x 1+x2 si x 6 0 si x > 0 1 a Etudier la continuité de f en 0. b Etudier la dérivabilité de f en 0 à gauche puis interpréter graphiquement le résultat. 2 a Calculer les limites de f en +∞ et en −∞. b Etudier les branches infinies de la courbe de f . 3 a Montrer que pour tout réel x > 0, f 0 (x) = g(x) x(1+x2 )2 b En déduire les variations de f sur ]0; +∞[. c Calculer f 0 (x) pour x 6 0 puis donner son signe. d Etablir le tableau de variation de f . 4 a Montrer que f (α) = 1 . 2α2 On prendra α = 1.90 b Tracer la courbe de f : unité 5cm. 5 Soit h la restriction de f sur ] − ∞; 0[ a Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 dont on précisera l’ensemble de définition ; puis tracer la courbe de h−1 b Calculer h(−1) et en déduire (h−1 )0 (−1 + ln 2) Devoir N◦ 4 de Mathématiques LKM Page 2/2