Preuve de l`irrationalité de racine carrée de 2

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Preuve de l’irrationalité de 
Nous allons prouver que  est un nombre irrationnel en utilisant une démonstration par l’absurde.
Autrement dit, nous allons considérer l’inverse et supposer que  est un nombre rationnel.
Si   , alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction à termes entiers.
D’où,   
 avec      et p et q sont premiers entre eux (Autrement dit,   est une
fraction irréductible).
On peut donc dire que   
D’où,   , ce qui signifie que  est un multiple de  et par conséquent  est également pair
(*voir explication plus bas).
Il existe donc un nombre naturel  tel que   .
D’où,     .
Or,    . On a dès lors          .
Donc,  est également pair. Il existe donc un nombre naturel  tel que    (par le même
raisonnement que précédemment).
Donc, 
et n’est pas irréductible, ce qui contredit notre hypothèse de départ.
n’est donc pas rationnel, il est irrationnel.
C.Q.F.D.
*Si  est pair alors est également pair.
En effet, supposons que  soit un nombre impair. Il peut donc s’écrire sous la forme    avec
  .
On alors           qui est l’expression d’un nombre impair.
Il y a donc contradiction avec la supposition de départ, ce qui signifie que  est bien un nombre pair.