Démonstration de l`irrationalité de la racine carrée de 2

Démonstration de l'irrationalité de
√2
Un nombre rationnel est un nombre qui peut se mettre sous la forme du rapport de deux nombres
entiers p/q. On peut toujours choisir p et q de façon qu'ils n'aient pas de facteur commun, puisque
ceux-ci s'éliminent au numérateur et au dénominateur. Par exemple au lieu d'écrire 10/15, on peut
écrire 2/3, en éliminant le facteur commun 5.
Faisons une démonstration par l'absurde, en supposant que √ 2= p /q avec p et q sans facteur
commun.
2
On a 2=( √ 2) =( p/q) 2
Donc 2= p 2 /q 2
Donc 2q 2= p 2 (*)
Donc p 2 est pair.
Si p est impair p 2 est aussi impair car un produit de deux nombres impairs est impair. Donc p est
pair. p=2p'
Par (*), 2q 2=(2p ' )2=4p ' 2
En divisant par 2 on obtient: q 2=2p' 2
Donc q 2 est pair, et donc q est pair.
p et q sont donc tous les deux pairs. Mais cela contredit le fait que p /q est une fraction sans
facteur commun, car 2 est alors un facteur commun. On parvient donc bien à une contradiction.