Démonstration de l`irrationalité de la racine carrée de 2

Démonstration de l'irrationalité de
√
2
Un nombre rationnel est un nombre qui peut se mettre sous la forme du rapport de deux nombres
entiers p/q. On peut toujours choisir p et q de façon qu'ils n'aient pas de facteur commun, puisque
ceux-ci s'éliminent au numérateur et au dénominateur. Par exemple au lieu d'écrire 10/15, on peut
écrire 2/3, en éliminant le facteur commun 5.
Faisons une démonstration par l'absurde, en supposant que
√
2=p/q
avec p et q sans facteur
commun.
On a
2=(
√
2)2=( p/q)2
Donc
2=p2/q2
Donc
2q2=p2
(*)
Donc
p2
est pair.
Si p est impair
p2
est aussi impair car un produit de deux nombres impairs est impair. Donc p est
pair.
p=2p'
Par (*),
2q2=(2p ')2=4p '2
En divisant par 2 on obtient:
q2=2p'2
Donc
q2
est pair, et donc q est pair.
p et q sont donc tous les deux pairs. Mais cela contredit le fait que
p/q
est une fraction sans
facteur commun, car 2 est alors un facteur commun. On parvient donc bien à une contradiction.