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1ère S3 DM11 pour le lundi 23 mars 2015
Exercice 1 Utilisation d’une suite auxiliaire
1) Calculer les termes
1
v
,
2
v
et
3
v
(sous forme de fraction irréductible).
Quelle conjecture peut-on émettre concernant le sens de variation de la
suite
n
v
?
4) On admet que pour tout entier naturel ,
30  n v
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel ,
n
n
nn v
v
vv 
6
32
1
.
b) En déduire le sens de variation de la suite
n
v
.
5) On considère la suite
n
w
définie pour tout entier naturel  par :
3
1
n
nv
w
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel ,
3
1
1 nn ww
.
b) En déduire la nature de la suite
n
w
, puis son terme général.
c) En déduire le terme général de la suite
n
v
sous la forme
dcn ban
vn
, où    et  sont des nombres entiers.
d) En déduire la valeur de
100
v
sous forme de fraction irréductible, puis
en écriture décimale arrondie à .
Exercice 2 Lecture graphique de nombre dérivés
Exercice 3 Démonstration d’une formule de dérivation
Soit  la fonction inverse définie sur * par 
.
Soit  un nombre réel différent de 0.
1) Calculer le taux d’accroissement de  entre  et   
(où  est un nombre réel tel que   ).
2) En déduire que  est dérivable en  et déterminer .
2)
3)
Lire sur le graphique la valeur des
nombres , , , , et
.