Devoir-contrôle 1 2006

L.S.B.Amri Devoir de contrôle N°1 Sai Fethi
4 .SC. 01 Mathématiques 2H 18 .11. 2006
Exercice 1 (6 points) :
Soit 12iz
Zzi
+
=− pour tout zi≠.
1. a Calculer Z si z = 1+2i.
b) Calculer z si Z=1+i.
2. Déterminer l’ensemble E=
}
{
()/ 1Mz Z
=
.
3. On pose z=x+iy.
a) Montrer que 22
2222
2231
(1) (1)
xxyy
Zi
xy xy
−+−+
=+
+− +− pour tout 0x≠ et 1y≠
b) Déterminer l’ensemble F=
}
{
()/Mz Z∈.
c) Déterminer l’ensemble G=
}
{
()/
M
z Z est un imaginaire pur .
Exercice 2 (5 points) :
On considère les nombres complexes suivants :
122zi=− − , 213zi=− + et 1
2
z
Zz
=
.
1) Déterminer la forme trigonométrique de : 12 ,zzetZ.
2) Déterminer la forme algébrique de Z.
3) En déduire que 723
12
tg
π
=− − .
Exercice 3 (9 points) :
Soit la fonction f définie sur  par
][
[]
][
3
2
() cos ,0
() 1 0,1
() 1 1,
fx x xsix
fx x x six
fx x xsix
⎧=− − ∈ −∞
⎪
⎪=+− ∈
⎨
⎪
=
+− ∈ +∞
⎪
⎩
1) a)Calculer lim ( )
x
f
x
→+∞ .
b) Montrer que pour tout
]
[
,0x∈−∞ : () 1
f
xx≥− − et en déduire lim ( ).
x
f
x
→−∞
2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
3) a) Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats.
b) f est –elle continue en 1 ?
4) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution
]
[
0,1 α ∈.
5) a) Montrer que f est dérivable sur
]
[
1,
+
∞ et que
][
2
2
1
()'() , 1,
1
xx
fx x
x
−+
=
∀∈ +∞
+ .
b) Montrer que
]
[
()'() 0, 1,fx x
∀
∈+∞≺
6) a) Montrer que f réalise une bijection de
]
[
1,
+
∞ sur un nintervalle I que l’on
déterminera.
b) Calculer (2)f puis 1 ()'(3 2)f−−.
c) Expliciter 1 ()()
f
x
− pour tout
x
I
∈
.
d) Retrouver, alors, 1
()'(3 2)f−−.
Bon travail.