L.S.B.Amri 4 .SC. 01 Devoir de contrôle N°1 Mathématiques 2H Sai Fethi 18 .11. 2006 Exercice 1 (6 points) : 1 + 2iz pour tout z ≠ i . z −i 1. a Calculer Z si z = 1+2i. b) Calculer z si Z=1+i. 2. Déterminer l’ensemble E= M ( z ) / Z = 1} . Soit Z = { 3. On pose z=x+iy. 2x2 + 2 y2 − 3 y + 1 −x pour tout x ≠ 0 et y ≠ 1 i + x 2 + ( y − 1) 2 x 2 + ( y − 1) 2 b) Déterminer l’ensemble F= {M ( z ) / Z ∈ } . a) Montrer que Z = c) Déterminer l’ensemble G= {M ( z ) / Z est un imaginaire pur} . Exercice 2 (5 points) : On considère les nombres complexes suivants : z z1 = − 2 − 2i , z2 = −1 + i 3 et Z = 1 . z2 1) Déterminer la forme trigonométrique de : z1 , z2 et Z . 2) Déterminer la forme algébrique de Z. 7π 3) En déduire que tg = −2 − 3 . 12 Exercice 3 (9 points) : Soit la fonction f définie sur ⎧ f ( x) = − cos x − x si x ∈ ]−∞, 0[ ⎪⎪ par ⎨ f ( x) = x 3 + x − 1 si x ∈ [ 0,1] ⎪ 2 ⎪⎩ f ( x) = x + 1 − x si x ∈ ]1, +∞[ 1) a)Calculer lim f ( x) . x →+∞ b) Montrer que pour tout x ∈ ]−∞, 0[ : f ( x) ≥ − x − 1 et en déduire lim f ( x). x →−∞ 2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. 3) a) Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats. b) f est –elle continue en 1 ? 4) Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α ∈ ]0,1[ . 5) a) Montrer que f est dérivable sur ]1, +∞[ et que ( f ) '( x) = b) Montrer que ( f ) '( x) ≺ 0, ∀x ∈ ]1, +∞[ x − x2 + 1 x2 + 1 , ∀x ∈ ]1, +∞[ . 6) a) Montrer que f réalise une bijection de ]1, +∞[ sur un nintervalle I que l’on déterminera. b) Calculer f ( 2) puis ( f −1 ) '( 3 − 2) . c) Expliciter ( f −1 )( x) pour tout x ∈ I . d) Retrouver, alors, ( f −1 ) '( 3 − 2) . Bon travail.