rg 1 0 est valeur propre

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences & Technologies
43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, France UE : Analyse III Automne 2011
Groupe B
Enseignant : M.Caldero.
e-mail : [email protected]-lyon1.fr
Cours : vendredi 8H15-11H30
Salle : Salle Ampère(1er ss) bâtiment lippmann
TD 5
Feuille d’exercice II.
- DIAGONALISATION – TRIGONALISATION -
   n est valeur propre 
rg 1 0 est valeur propre 
 est vecteur propre pour valeur propre 0.
 =      = 
Exercice 6. Discuter en fonction de a,b et c la possibilité de diagonaliser les matrices de 
suivantes :   
Diagonalisable ?
A = 
Si A était diagonalisable  
   toujours diagonalisable (pas de multiplicité)
A =  

Preuve :
Reste à verifier que  (car 1≤≤ =1 alors =)
1er cas : a≠0
2ème cas : a=0
z=0 plan 
B=   
Si c = 1 alors non diagonalisable  c = 1  et  sinon B = Id
ou Si a ≠ 0 alors non diagonalisable  c ≠ 1 et a = 0 
Sinon B diagonalisable  donc 
Exercice 8. On note  le-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Soit u l’endomorphisme de  défini par :
1. Ecrire la matrice u dans la base canonique de .
 = {P, deg(P) ≤ n} C’est un espace vectoriel (Base canonique )
u : 
Bien défini ? oui car dépend uniquement de P.
u est endomorphisme
u(1) = 0
u(X) =  
u(X²) =  
u() =       
u() =      

2. Montrer que u est diagonalisable.
Montrer que u est diagonalisable. La matrice est triangulaire. Dans sous valeur propre sont
0,3,8,…,n(n+2). Elles sont toutes distinctes 2 à 2  est strictement croissante sur
.
Donc u est diagonalisable.
3. Résoudre l’équation u(P)= P.
u(P) = λP, λ .
Rq : (X²-1)P’’ + 3XP’ = λP est une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux.
Le but de l’exercice est de chercher des solutions polynomiales.
P est solution non nulle de (*)  P est vecteur propre de u et λ est valeur propre.
1er cas : si λ= p(p+2) alors p existe.
dim (car toutes les valeurs propres sont simples)
L’ensemble des solutions est une droite (on parle de solutions polynomiales)
2ème cas : si λ≠p(p+2) pas de solutions polynomiales.
Exercice 9. Soit u l’endomorphisme de  défini par u²= id.
On pose u² =Id.
Exercice 10. Soit   
En diagonalisant A, trouver une solution dans  à l’équation X²=A.
Rappel :
   =   
   + (a-b) 
valeur propre 
diagonalisable avec valeur propre 
Si A est diagonalisable avec valeur propre  alors  est diagonalisable avec valeur propre
.

A valeur propre -1 : 
Soit l’équation X²=A
On veut trouver une solution à Y² =   
   = D
On a une solution Y=  
Soit 
 (changement de variable)
Recette :
   =  
Trouver une solution réelle.
Les valeurs propres sont réelles, A est réelle donc les vecteurs propres sont réels aussi :
 .
On chercher X de la forme .
Il suffit de trouver y réel t.q. Y²=  
On se ramène à trouver une solution réelle dans .
Z²= 
On cherche u²= - Id.
. 
La matrice de la rotation est  
θ = 
 donne  
  = Z
Y =   
   bloc diagonaux
Commentaire [E1]: NAMCAP &
PACMAN

Rappel :
   =  
Y² =  
Y²=  
Comme tout à l’heure .
Exercice 11. Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E de
rang 1.
1. Montrer que la trace de u est une valeur propre de u.
Montrer que tr(u) est valeur propre de u.
rg(u) = 1  dim Ker u = n – 1
 dim  = n – 1
( : λ valeur propre de u  Ker(u – Id) ≠ 0 )
(0) = n – 1
n ≥  ≥ =n-1
Dans ce cas sp = {0, λ}
 diagonalisable.
Question : Qui nous dit qu’il y a une autre valeur propre λ?
( : deg(P) = n, On suppose que l’on connait n-1 racines)
P = .
: pour (n-1) racines achetées, la n-ième gratuite !
P a n-racines dans  donc se factorise.
Preuve :  =
On identifie le coeff en 
Ou on identifie les coeff. Cst.
Commentaire [E2]: = 