rg 1 0 est valeur propre

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Université Claude Bernard Lyon 1
43, boulevard du 11 novembre 1918
69622 Villeurbanne cedex, France
Licence Sciences & Technologies
Spécialité : Mathématiques
UE : Analyse III Automne 2011
Groupe B
Enseignant : M.Caldero.
e-mail : [email protected]
Cours : vendredi 8H15-11H30
er
Salle : Salle Ampère(1 ss) bâtiment lippmann
TD 5
Feuille d’exercice II.
- DIAGONALISATION – TRIGONALISATION -
(
)
n est valeur propre ( )
( )
rg 1 0 est valeur propre
(
( )
( )
( )
)
( )
(
)
(
)(
(
) =
(
) est vecteur propre pour valeur propre 0.
)(
)=
Exercice 6. Discuter en fonction de a,b et c la possibilité de diagonaliser les matrices de
suivantes :
[
][
]
Diagonalisable ?
* +
/2
A =.
.
Si A était diagonalisable
.
A =(
/
*
)
/
+ toujours diagonalisable (pas de multiplicité)
*
+2
( )
Preuve :
( )
(
Reste à verifier que
)
( )
{
( ) (car 1≤
(
)≤
(
) =1 alors
(
)=
(
))
{
1er cas : a≠0
2
( )
( )
2ème cas : a=0
( )
z=0 plan
B= (
ou
)
Si c = 1 alors non diagonalisable
Si a ≠ 0 alors non diagonalisable
( )
Sinon B diagonalisable
( )
c=1
et
( )
c ≠ 1 et a = 0
( )
donc
( )
sinon B = Id
( )
Exercice 8. On note
, - le -espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Soit u l’endomorphisme de , - défini par :
( ) (
)
1. Ecrire la matrice u dans la base canonique de , -.
, - = {P
, -, deg(P) ≤ n} C’est un espace vectoriel (Base canonique
)
, , u:
(
)
Bien défini ? oui car dépend uniquement de P.
u est endomorphisme
u(1) = 0
u(X) =
u(X²) =
u(
)=
u(
)=
(
)
(
)
(
(
(
(
(
)
)
)
(
(
)
))
)
2. Montrer que u est diagonalisable.
Montrer que u est diagonalisable. La matrice est triangulaire. Dans sous valeur propre sont
0,3,8,…,n(n+2). Elles sont toutes distinctes 2 à 2
(
) est strictement croissante sur
.
Donc u est diagonalisable.
3. Résoudre l’équation u(P)= P.
u(P) = λP, λ
.
Rq : (X²-1)P’’ + 3XP’ = λP est une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux.
Le but de l’exercice est de chercher des solutions polynomiales.
P est solution non nulle de (*)
P est vecteur propre de u et λ est valeur propre.
1er cas : si λ= p(p+2) alors p existe.
( )
dim
(car toutes les valeurs propres sont simples)
L’ensemble des solutions est une droite (on parle de solutions polynomiales)
2ème cas : si λ≠p(p+2) pas de solutions polynomiales.
( ) défini par u²= id.
Exercice 9. Soit u l’endomorphisme de
1/
.0
0
1
On pose u² =Id.
Exercice 10. Soit
[
]
( ) à l’équation X²=A.
En diagonalisant A, trouver une solution dans
Rappel :
(
( )
( )
)=
valeur propre {
(
( )
) + (a-b)
( )
( )
diagonalisable avec valeur propre {
(
)
(
)
(
Si A est diagonalisable avec valeur propre
.
(
)
)
alors
est diagonalisable avec valeur propre
( )
( )
A valeur propre -1 :
( )
( )
Soit l’équation X²=A
( )
)=D
On veut trouver une solution à Y² = (
( )
( )
On a une solution Y=(
)
( )
√
Soit
(changement de variable)
(
)
Recette :
( )
( )
(
)(
)=(
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
)
( )
)
(
( )
Trouver une solution réelle.
Les valeurs propres sont réelles, A est réelle donc les vecteurs propres sont réels aussi :
( ).
On chercher X de la forme
.
( )
Il suffit de trouver y réel t.q. Y²=(
)
( )
On se ramène à trouver une solution réelle dans ( ).
/
Z²=.
On cherche u²= - Id.
Commentaire [E1]: NAMCAP &
PACMAN
.
La matrice de la rotation est .
θ=
donne .
/=Z
( )
Y=(
( )
)
√
bloc diagonaux
/
Rappel :
(
(
( )
( )
( )
( )
)(
)=(
( )
( )
( )
( )
)
(
)
( )
.
Y² = (
/
( )
( )
( )
)
)
√
( )
)
Y²=(
( )
Comme tout à l’heure
( ).
Exercice 11. Soient E un
espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E de
rang 1.
1. Montrer que la trace de u est une valeur propre de u.
Montrer que tr(u) est valeur propre de u.
rg(u) = 1
dim Ker u = n – 1
dim
=n–1
(
: λ valeur propre de u  Ker(u – Id) ≠ 0 )
(0) = n – 1
( )=n-1
n≥
( )≥
( )
Dans ce cas sp = {0, λ}
( )
( )
} diagonalisable.
( )
( )
Question : Qui nous dit qu’il y a une autre valeur propre λ?
(
: deg(P) = n, On suppose que l’on connait n-1 racines)
P=
.
: pour (n-1) racines achetées, la n-ième gratuite !
P a n-racines dans
donc se factorise.
Preuve :
On identifie le coeff en
Ou on identifie les coeff. Cst.
( )
=(
)
(
)
(
)
Commentaire [E2]: =
Exemple : Si 0 est racine d’ordre n-1 alors la dernière racine sera λ= -0-0- …A matrice sur est triagonalisable.
(
)
sont les valeur propre de A.
( )
Tr A = Tr T =
Dans notre exercice.
Tr u =
Tr u =
Exemple :
(
) C’est de rang 1 valeur propre 0 mult n-1
Tr u = n mult 1,-1 diagonalisable
2. En déduire que u est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est nulle.
( )
( )
Si Tr u ≠ 0 alors
} diagonalisable.
( )
( )
Si λ = Tr u = 0
( )
( )
alors
non diagonalisable .
Exercice 12. On considère la matrice complexe
0
1
1. Quelle la somme des valeurs propres de A ?
Rappel : A semblable à T = (
)
= Tr T = Tr A = 0
2. Quel est le produit des valeurs propres de A ?
= det T = det A = -a²-bc
3. Montrer que, si son déterminant n’est pas nul, A est diagonalisable.
d=det A ≠0 {
d≠0
≠0
distincts car ils sont opposés
diagonalisable .
=-
4. Montrer que, si son déterminant est nul, A n’est diagonalisable que si elle nulle.
d= 0,
donc est nulle pour i.
comme
l’autre aussi est nulle.
/
Si A est diagonalisable alors A = P.
=0
5. Montrer que A est diagonalisable sauf si elle est de rang 1
A
rang 2
cas 3)
diagonalisable.
A
rang 0
cas 4) A= 0
diagonalisable.
A
rang 1
cas 4) non nul
non diagonalisable.
6. En supposant que la matrice A est réelle ; à quelle condition est-elle diagonalisable par un
changement de base réel ?
{
On veut 2 solutions réelles.
On substitue
Il y a des solutions réelles ssi d ≤ 0.
 -a²-bc ≤ 0
 a² + bc ≥ 0
On pourrait voir les choses ainsi :
A =.
/
= X² - Tr(A)X + det(A)
( On a vu {
)
= X² + det(A)= X² + d.
Exercice 14. Soient E un
et u,v deux endomorphismes de E tels que
uov=vou
1. Montrer que tout sous-espace propre de u est stable par v.
( )
*
+
montrer que v( )
montrer que v(λ)
u(v(X)) =v(u(X)) =v( )= v(X)
2. Montrer que u et v sont diagonalisables ssi’il existe une base commune de diagonalisation.
O.K.
les espaces propres de u.
Par hypothèse u est diagonalisable donc
= E.
est base de . B=
base de E.
Dans cette base u s’écrit :
( )
( )
( )
(
:=
:=
)
d’après 1)
(
)
(
( )
(
Il suffit de montrer que
( )
est diagonalisable.
)
( )
(
))
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