Université Claude Bernard Lyon 1 43, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France Licence Sciences & Technologies Spécialité : Mathématiques UE : Analyse III Automne 2011 Groupe B Enseignant : M.Caldero. e-mail : [email protected] Cours : vendredi 8H15-11H30 er Salle : Salle Ampère(1 ss) bâtiment lippmann TD 5 Feuille d’exercice II. - DIAGONALISATION – TRIGONALISATION - ( ) n est valeur propre ( ) ( ) rg 1 0 est valeur propre ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( ( ) = ( ) est vecteur propre pour valeur propre 0. )( )= Exercice 6. Discuter en fonction de a,b et c la possibilité de diagonaliser les matrices de suivantes : [ ][ ] Diagonalisable ? * + /2 A =. . Si A était diagonalisable . A =( / * ) / + toujours diagonalisable (pas de multiplicité) * +2 ( ) Preuve : ( ) ( Reste à verifier que ) ( ) { ( ) (car 1≤ ( )≤ ( ) =1 alors ( )= ( )) { 1er cas : a≠0 2 ( ) ( ) 2ème cas : a=0 ( ) z=0 plan B= ( ou ) Si c = 1 alors non diagonalisable Si a ≠ 0 alors non diagonalisable ( ) Sinon B diagonalisable ( ) c=1 et ( ) c ≠ 1 et a = 0 ( ) donc ( ) sinon B = Id ( ) Exercice 8. On note , - le -espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Soit u l’endomorphisme de , - défini par : ( ) ( ) 1. Ecrire la matrice u dans la base canonique de , -. , - = {P , -, deg(P) ≤ n} C’est un espace vectoriel (Base canonique ) , , u: ( ) Bien défini ? oui car dépend uniquement de P. u est endomorphisme u(1) = 0 u(X) = u(X²) = u( )= u( )= ( ) ( ) ( ( ( ( ( ) ) ) ( ( ) )) ) 2. Montrer que u est diagonalisable. Montrer que u est diagonalisable. La matrice est triangulaire. Dans sous valeur propre sont 0,3,8,…,n(n+2). Elles sont toutes distinctes 2 à 2 ( ) est strictement croissante sur . Donc u est diagonalisable. 3. Résoudre l’équation u(P)= P. u(P) = λP, λ . Rq : (X²-1)P’’ + 3XP’ = λP est une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux. Le but de l’exercice est de chercher des solutions polynomiales. P est solution non nulle de (*) P est vecteur propre de u et λ est valeur propre. 1er cas : si λ= p(p+2) alors p existe. ( ) dim (car toutes les valeurs propres sont simples) L’ensemble des solutions est une droite (on parle de solutions polynomiales) 2ème cas : si λ≠p(p+2) pas de solutions polynomiales. ( ) défini par u²= id. Exercice 9. Soit u l’endomorphisme de 1/ .0 0 1 On pose u² =Id. Exercice 10. Soit [ ] ( ) à l’équation X²=A. En diagonalisant A, trouver une solution dans Rappel : ( ( ) ( ) )= valeur propre { ( ( ) ) + (a-b) ( ) ( ) diagonalisable avec valeur propre { ( ) ( ) ( Si A est diagonalisable avec valeur propre . ( ) ) alors est diagonalisable avec valeur propre ( ) ( ) A valeur propre -1 : ( ) ( ) Soit l’équation X²=A ( ) )=D On veut trouver une solution à Y² = ( ( ) ( ) On a une solution Y=( ) ( ) √ Soit (changement de variable) ( ) Recette : ( ) ( ) ( )( )=( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) Trouver une solution réelle. Les valeurs propres sont réelles, A est réelle donc les vecteurs propres sont réels aussi : ( ). On chercher X de la forme . ( ) Il suffit de trouver y réel t.q. Y²=( ) ( ) On se ramène à trouver une solution réelle dans ( ). / Z²=. On cherche u²= - Id. Commentaire [E1]: NAMCAP & PACMAN . La matrice de la rotation est . θ= donne . /=Z ( ) Y=( ( ) ) √ bloc diagonaux / Rappel : ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) )( )=( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) . Y² = ( / ( ) ( ) ( ) ) ) √ ( ) ) Y²=( ( ) Comme tout à l’heure ( ). Exercice 11. Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E de rang 1. 1. Montrer que la trace de u est une valeur propre de u. Montrer que tr(u) est valeur propre de u. rg(u) = 1 dim Ker u = n – 1 dim =n–1 ( : λ valeur propre de u Ker(u – Id) ≠ 0 ) (0) = n – 1 ( )=n-1 n≥ ( )≥ ( ) Dans ce cas sp = {0, λ} ( ) ( ) } diagonalisable. ( ) ( ) Question : Qui nous dit qu’il y a une autre valeur propre λ? ( : deg(P) = n, On suppose que l’on connait n-1 racines) P= . : pour (n-1) racines achetées, la n-ième gratuite ! P a n-racines dans donc se factorise. Preuve : On identifie le coeff en Ou on identifie les coeff. Cst. ( ) =( ) ( ) ( ) Commentaire [E2]: = Exemple : Si 0 est racine d’ordre n-1 alors la dernière racine sera λ= -0-0- …A matrice sur est triagonalisable. ( ) sont les valeur propre de A. ( ) Tr A = Tr T = Dans notre exercice. Tr u = Tr u = Exemple : ( ) C’est de rang 1 valeur propre 0 mult n-1 Tr u = n mult 1,-1 diagonalisable 2. En déduire que u est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est nulle. ( ) ( ) Si Tr u ≠ 0 alors } diagonalisable. ( ) ( ) Si λ = Tr u = 0 ( ) ( ) alors non diagonalisable . Exercice 12. On considère la matrice complexe 0 1 1. Quelle la somme des valeurs propres de A ? Rappel : A semblable à T = ( ) = Tr T = Tr A = 0 2. Quel est le produit des valeurs propres de A ? = det T = det A = -a²-bc 3. Montrer que, si son déterminant n’est pas nul, A est diagonalisable. d=det A ≠0 { d≠0 ≠0 distincts car ils sont opposés diagonalisable . =- 4. Montrer que, si son déterminant est nul, A n’est diagonalisable que si elle nulle. d= 0, donc est nulle pour i. comme l’autre aussi est nulle. / Si A est diagonalisable alors A = P. =0 5. Montrer que A est diagonalisable sauf si elle est de rang 1 A rang 2 cas 3) diagonalisable. A rang 0 cas 4) A= 0 diagonalisable. A rang 1 cas 4) non nul non diagonalisable. 6. En supposant que la matrice A est réelle ; à quelle condition est-elle diagonalisable par un changement de base réel ? { On veut 2 solutions réelles. On substitue Il y a des solutions réelles ssi d ≤ 0. -a²-bc ≤ 0 a² + bc ≥ 0 On pourrait voir les choses ainsi : A =. / = X² - Tr(A)X + det(A) ( On a vu { ) = X² + det(A)= X² + d. Exercice 14. Soient E un et u,v deux endomorphismes de E tels que uov=vou 1. Montrer que tout sous-espace propre de u est stable par v. ( ) * + montrer que v( ) montrer que v(λ) u(v(X)) =v(u(X)) =v( )= v(X) 2. Montrer que u et v sont diagonalisables ssi’il existe une base commune de diagonalisation. O.K. les espaces propres de u. Par hypothèse u est diagonalisable donc = E. est base de . B= base de E. Dans cette base u s’écrit : ( ) ( ) ( ) ( := := ) d’après 1) ( ) ( ( ) ( Il suffit de montrer que ( ) est diagonalisable. ) ( ) ( ))