2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Corrigé du devoir surveillé no 2
Le résultat suivant sera utilisé dans la question de cours et l’exercice 2 :
Théorème. Soient k un corps commutatif, E un k-espace vectoriel de dimension finie et non nulle, et φ un
endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) φ est diagonalisable.
(ii) E est la somme directe des sous-espaces propres de φ.
(iii) φ est annulé par un polynôme de k[X] scindé à racines simples.
Question de cours
On rappelle que Vλ = ker(v − λ idE ). Pour tout x ∈ E, il est donc clair que x ∈ Vλ si et seulement si v(x) = λx.
1) a. Il s’agit de montrer que v(Vλ ) ⊂ Vλ . Soit y ∈ v(Vλ ) ; il existe x ∈ Vλ tel que y = v(x), i.e. y = λx. Par
linéarité de v, on a v(y) = v(λx) = λv(x) = λy, i.e. y ∈ Vλ . L’arbitraire sur y montre que v(Vλ ) ⊂ Vλ .
b. Pour tout x ∈ Vλ , ayant vλ (x) = v(x) = λx, on constate que vλ = idVλ . Posant kλ = dim Vλ , il est donc
clair que pour toute base Bλ de Vλ , on a matBλ (vλ ) = λ Ikλ .
2) a. On veut prouver que u(Vλ ) ⊂ Vλ . Soit y ∈ u(Vλ ) ; il existe x ∈ Vλ tel que y = u(x). Ayant v ◦ u = u ◦ v
et v(x) = λx, la linéarité de u entraine :
v(y) = v[u(x)] = v ◦ u(x) = u ◦ v(x) = u[v(x)] = u(λx) = λu(x) = λy.
Par suite, y ∈ Vλ , et on a obtenu l’inclusion souhaitée.
b. Par hypothèse, u est diagonalisable. D’après le théorème, u est donc annulé par un polynôme P ∈ k[X]
scindé à racines simples, ce qui signifie que P [X := u] · x = 0E pour tout x ∈ E. Pour tout x ∈ Vλ , ayant
en particulier uλ (x) = u(x), il vient :
P [X := uλ ] · x = P [X := u] · x = 0E .
Ainsi, P est annulateur de uλ , et uλ est diagonalisable en vertu du théorème.
c. D’après 1.b, dans toute base de Vλ , la matrice de vλ est diagonale. Pour obtenir le résultat souhaité, il
suffit donc de choisir une base Bλ de Vλ dans laquelle la matrice de uλ est diagonale, l’existence d’une
telle base Bλ résultant du caractère diagonalisable de uλ , établi en 2.b.
d. On conserve les notations de 2.c. Désignons par Spec(v) le spectre de v, à savoir l’ensemble de ses valeurs
propres, et par B la famille constituée des vecteurs des bases Bλ , pour tout λ ∈ Spec(v). Comme v est
diagonalisable, le théorème assure :
L
Vλ .
E =
λ∈Spec(v)
Ainsi, B est une base de E dans laquelle, compte tenu de 2.c, les matrices de u et v sont diagonales.
3) Soit B = (b1 , . . . , bn ) une base de E dans laquelle les matrices u et v sont diagonales. Il existe ainsi
λ1 , µ1 , . . . , λn , µn ∈ k tels que :
matB (u) = diag(λ1 , . . . , λn )
et
matB (v) = diag(µ1 , . . . , µn ).
Pour tout j ∈ [1, n], on a alors u(bj ) = λj bj et v(bj ) = µj bj , d’où, par linéarité de u et v :
u ◦ v(bj ) = u[v(bj )] = u(µj bj ) = µj u(bj ) = µj λj bj = λj µj bj = λj v(bj ) = v(λj bj ) = v[u(bj )] = v ◦ u(bj ).
Comme B est une base de E, on en déduit que les endomorphismes u ◦ v et v ◦ u coïncident sur E tout entier.
Exercice 1
1) a. Par définition, pour tous i, j ∈ [1, 3], le coefficient (i, j) de M est égal à ϕ(ei , ej ). Or :
ϕ(e1 , e1 ) = ϕ(e2 , e2 ) = ϕ(e3 , e3 ) = 0,
puis, par symétrie de ϕ :
ϕ(e2 , e1 ) = ϕ(e1 , e2 ) =
1
,
2
ϕ(e3 , e2 ) = ϕ(e2 , e3 ) =
Page 1/2
−1
,
2
ϕ(e3 , e1 ) = ϕ(e1 , e3 ) = 1.
Au final, on a obtenu :

0
1
1
M =
2
2

1
2
0 −1  .
−1 0
b. On rappelle que ϕ est non dégénérée si et seulement si rg ϕ = dim E = 3. Comme M = matE (ϕ), on a
rg ϕ = rg M . Ayant det M = −1/2 6= 0, donc rg ϕ = rg M = 3, ϕ est effectivement non dégénérée.
2) a. Par définition même de q, pour tout vecteur v = (x, y, z) ∈ E, on a q(v) = ϕ(v, v) = xy − yz + 2xz.
b. Pour tout v = (x, y, z) ∈ E, en appliquant le procédé d’orthogonalisation de Gauss, on trouve :
q(v) = xy − yz + 2xz = (x − z)(y + 2z) + 2z 2
1
1
= [(x − z) + (y + 2z)]2 − [(x − z) − (y + 2z)]2 + 2z 2
4
4
1
1
= (x + y + z)2 − (x − y − 3z)2 + 2z 2 .
4
4
Ces calculs garantissent que s = 2 et t = 1.
Remarque. Sachant que rg ϕ = s + t, on retrouve ainsi le résultat de 1.b.
Exercice 2
D’après le théorème, pour montrer que f est diagonalisable, il suffit de prouver que P est scindé à racines
simples ; montrons que c’est effectivement le cas. Soit p : R → R, t 7→ P (t). La fonction p étant polynômiale,
elle est dérivable sur R avec, pour tout t ∈ R :
p′ (t) = 3t2 − 3 = 3(t − 1)(t + 1).
On en déduit ainsi les variations de la fonction p :
−∞
t
p′ (t)
+
−1
0
−
1
0
+∞
+
+∞
3
p(t)
−1
−∞
La fonction p étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’uniques réels a, b, c,
vérifiant a < −1 < b < 1 < c, tels que pour tout t ∈ R :
p(t) = 0 ⇐⇒ t ∈ {a, b, c}.
Ceci montre que a, b, c sont trois racines distinctes de P . Et P étant unitaire de degré 3, il vient ainsi :
P (X) = (X − a)(X − b)(X − c),
ce qui prouve que P est scindé à racines simples : c’est ce que nous souhaitions démontrer !
Page 2/2