SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 5 au 10-12

SPE MP* Mathématiques
2011-2012
Semaine du 5 au 10-12-2011
Exercices 13
Réduction des endomorphismes et des matrices :
1. Diagonaliser ou à défaut trigonaliser les matrices suivantes :
2 2 1
2 3 2
1 2 0
1
21
21
2
b
ac a
a
bc b
a
cb c
0 1 0
0 0 1
c b a
.
2. Existe-t-il des réels a,b,c tels que la matrice
a
b
c
1 1
1 1
1 1
admette 1,2 et 3 comme valeurs propres?
3. Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel réel E de dimension 2 admettant les valeurs propres 1 et 2. Etudier la
suite
( )xn n IN
dans E définie par
1
()
nn
x au x 
selon le choix du scalaire a et du vecteur x0.
4. Soit
u L IR X
n
( [ ])
défini par
u P X a X b P nXP( ) ( )( ) '   
. Déterminer les valeurs et vecteurs propres de u, le
noyau de u et u-1(1).
5. Soit
u L IR X
n
( [ ])
défini par
u P X P X()( ) ( ) 1
. u est-il injectif? Surjectif? Diagonalisable? Dans quelle base?
6. L'ensemble des matrices de taille n diagonalisables est-il un ouvert de
MIR
n( )
? Est-il un fermé de
MIR
n( )
? est-il
dense dans
MIR
n( )
?
7. Les matrices
A 
0 0 4
1 0 8
0 1 5
et
B 
2 1 1
0 0 2
0 1 3
sont-elles semblables?
8. Soient
AIK
pn
M( )
et
BIK
np
M( )
. On suppose que
n p
. Montrer que
XI BA B
XI
I
A I
I
A I
XI B
XI AB
n
p
n
p
n
p
n
p
0
0 0
0
et en déduire que le polynôme caractéristique de AB divise
celui de BA. Que peut-on dire si n = p ?
9. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK ,
u L E( )
et H un hyperplan dont tous les vecteurs sont invariants
par u. On suppose que
uid
.
- Montrer qu’il existe un scalaire a tel que
u x ax H x E( )   
.
- Montrer que si a = 0 , u est un projecteur.
- Donner une CNS sur a pour que u soit diagonalisable.
10. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK et
u L E( )
tel que
( ) ( ) ... ( )uid uid uid
p 1 2 0  
. On
suppose que les p scalaires
i
sont deux à deux distincts. Montrer l’existence de p endomorphismes
12
, , , p v v v
tels
que
PIK X P u P v
i i
i
p
[], ( ) ( )
1
. Le résultat reste-t-il vrai si deux des scalaires
i
coïncident?
11. Soit A une matrice nilpotente non nulle de taille n .
- Soit B une matrice diagonalisable de taille n n’ayant qu’une seule valeur propre. Montrer que A + B n’est pas
diagonalisable.
- On suppose n = 2. Donner un exemple de matrice nilpotente non nulle A et de matrice diagonalisable B telles que
A + B soit diagonalisable.
- Peut-on, plus généralement, trouver pour toute matrice nilpotente non nulle A de taille n une matrice
diagonalisable B telle que A + B soit diagonalisable.

Application de la réduction des matrices : suites récurrentes, systèmes différentiels :
12. Trouver la limite des suites
( )un n IN
et
( )vn n IN
définies par
u u v
v u v
n n n
n n n
1
1
4 2
3
selon u0 et v0.
13. Résoudre les systèmes différentiels suivants :
dx
dt x y
dy
dt x y
2
4
dx
dt x y
dy
dt x y
x y
3
0 0 1( ) ( )
Polynômes d’endomorphismes, polynôme minimal
14. Soit
A IC
n
M( )
et
pIN*
tel que Ap = I. Montrer que si est une racine p-ème de l’unité qui n’est pas valeur
propre de A-1,
I A A
p p
... 1 1 0
.
15. Trouver tous les sous-espaces de IR3 stables par l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique s’écrit
2 3 1
1 2 1
2 6 3
.
16. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK et
u L E( )
. On définit les endomorphismes gu , du , et
u
de
L(E) en posant
g v u v d v v u v u v v u
u u u
( ) , ( ) , ( )      
.
- On suppose u diagonalisable. Montrer que gu , du , et
u
le sont aussi.
- On suppose u nilpotent. Montrer que gu , du , et
u
le sont aussi.
- On suppose u non diagonalisable. Montrer que gu et du ne le sont pas non plus. Que dire de
u
?
17. Montrer que la matrice
0 1 0
0 0 1
c b a
n’annule aucun polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Montrer qu’elle est
diagonalisable ssi
427 418 0
3 2 2 2 3
b a b c a c abc    
. Réduire la matrice pour a = 3, b = 2,
c2
3 3
et pour a =
b = 3, c = 1.
Une méthode numérique
18. Soit A une matrice réelle admettant n valeurs propres réelles distinctes
1 2
, ,..., n
. On suppose que
1 2
  ... n
. Pour i = 1,...,n , on note ei
IRn
un vecteur propre associé à la valeur propre
i
. Soit enfin
V x e
i i
i
n
01
un vecteur fixé de IRn.
 Montrer que la suite
VppIN
définie pour tout p>0 par
VAV
AV
pp
p
1
1
vérifie « en général »
lim
pp
AV
1
.
Quels sont les cas d’exception? Montrer qu’avec les mêmes exceptions, les suites
VppIN
2
et
VppIN
2 1
convergent l’une et l’autre vers un vecteur colinéaire à e1 .
 Montrer que A et tA ont les mêmes valeurs propres. Soient E1 un vecteur colonne propre pour A pour la valeur
propre
1
et E’2 un vecteur colonne propre pour tA pour la valeur propre
2
. Montrer que tE1E’2 = 0.
 On suppose de plus que E1 est un vecteur colonne de norme euclidienne 1 ; montrer que les valeurs propres de
B A E E
t
1 1 1
sont
02 , ,...,
n
. Application à la programmation.