SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 5 au 10-12

SPE MP*
2011-2012
Mathématiques
Semaine du 5 au 10-12-2011
Exercices 13
Réduction des endomorphismes et des matrices :
 2 2 1


1. Diagonaliser ou à défaut trigonaliser les matrices suivantes :  2 3 2


 1 2 0
2.
3.
4.
5.
6.
 1

 2
 a
 b
 a

 c
b
a
1

2
b
c
c 

a 
c 
b 
1
 
2
0
0 1


1.
0 0


 c b a
 a 1 1


Existe-t-il des réels a,b,c tels que la matrice  1 b 1 admette 1,2 et 3 comme valeurs propres?


 1 1 c
Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel réel E de dimension 2 admettant les valeurs propres 1 et 2. Etudier la
suite ( x n ) nIN dans E définie par xn  au ( xn 1 ) selon le choix du scalaire a et du vecteur x0.
Soit u  L( IRn [ X ]) défini par u( P)  ( X  a )( X  b) P'nXP . Déterminer les valeurs et vecteurs propres de u, le
noyau de u et u-1(1).
Soit u  L( IRn [ X ]) défini par u( P)( X )  P(1  X ) . u est-il injectif? Surjectif? Diagonalisable? Dans quelle base?
L'ensemble des matrices de taille n diagonalisables est-il un ouvert de M n ( IR) ? Est-il un fermé de M n ( IR) ? est-il
dense dans M n ( IR) ?
0 0 4 
2 1 1 




7. Les matrices A   1 0 8 et B   0 0 2 sont-elles semblables?




0 1 3 
0 1 5 
8. Soient
A M pn ( IK )
et
B M np ( IK ) .
On
suppose
que
n  p.
Montrer
que
B   I n 0   I n 0   XI n
B
 XI n  BA



 

 et en déduire que le polynôme caractéristique de AB divise
0
XI
A
I
A
I
0
XI

AB



p 
p
p 
p
celui de BA. Que peut-on dire si n = p ?
9. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK , u  L( E ) et H un hyperplan dont tous les vecteurs sont invariants
par u. On suppose que u  id .
- Montrer qu’il existe un scalaire a tel que u( x)  ax  H x  E .
- Montrer que si a = 0 , u est un projecteur.
- Donner une CNS sur a pour que u soit diagonalisable.
10. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK et u  L( E ) tel que (u   1id )  (u   2 id )...(u   p id )  0 . On
suppose que les p scalaires  i sont deux à deux distincts. Montrer l’existence de p endomorphismes v1 , v2 ,
que P  IK[ X ],
, v p tels
p
P(u)   P( i )vi . Le résultat reste-t-il vrai si deux des scalaires  i coïncident?
i 1
11. Soit A une matrice nilpotente non nulle de taille n .
- Soit B une matrice diagonalisable de taille n n’ayant qu’une seule valeur propre. Montrer que A + B n’est pas
diagonalisable.
- On suppose n = 2. Donner un exemple de matrice nilpotente non nulle A et de matrice diagonalisable B telles que
A + B soit diagonalisable.
- Peut-on, plus généralement, trouver pour toute matrice nilpotente non nulle A de taille n une matrice
diagonalisable B telle que A + B soit diagonalisable.
Application de la réduction des matrices : suites récurrentes, systèmes différentiels :
u  4un  2v n
12. Trouver la limite des suites (un ) nIN et (v n ) nIN définies par  n 1
selon u0 et v0.
v n 1  3un  v n
 dx
 dt  x  y
 dx


x

2
y
 dt
 dy
13. Résoudre les systèmes différentiels suivants : 
  x  3y
dy
  x  4y
 dt
 dt
 x (0)  y (0)  1


Polynômes d’endomorphismes, polynôme minimal
14. Soit A M n ( C
I ) et p  IN * tel que Ap = I. Montrer que si  est une racine p-ème de l’unité qui n’est pas valeur
propre de A-1, I  A... p1 A p1  0 .
15. Trouver tous les sous-espaces de IR3 stables par l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique s’écrit
 2 3 1


 1 2 1 .


 2 6 3 
16. Soient E un espace vectoriel de dimension n sur IK et u  L( E ) . On définit les endomorphismes gu , du , et  u de
L(E) en posant g u (v)  u  v, d u (v)  v  u,  u (v)  u  v  v  u .
- On suppose u diagonalisable. Montrer que gu , du , et  u le sont aussi.
- On suppose u nilpotent. Montrer que gu , du , et  u le sont aussi.
- On suppose u non diagonalisable. Montrer que gu et du ne le sont pas non plus. Que dire de  u ?
0
0 1


17. Montrer que la matrice  0
0
1  n’annule aucun polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Montrer qu’elle est


 c b a
2
diagonalisable ssi 4b 3  a 2 b 2  27c 2  4a 3 c  18abc  0 . Réduire la matrice pour a = 3, b = 2, c 
et pour a =
3 3
b = 3, c = 1.
Une méthode numérique
18. Soit A une matrice réelle admettant n valeurs propres réelles distinctes  1 ,  2 ,...,  n . On suppose que
 1   2 ...   n . Pour i = 1,...,n , on note ei IR n un vecteur propre associé à la valeur propre  i . Soit enfin
n
V0   x i ei un vecteur fixé de IRn.
i 1
 
 Montrer que la suite V p
pIN
définie pour tout p>0 par V p 
AV p 1
AV p 1
vérifie « en général » lim AV p   1 .
p
 
Quels sont les cas d’exception? Montrer qu’avec les mêmes exceptions, les suites V2 p
pIN
et
V 
2 p 1 pIN
convergent l’une et l’autre vers un vecteur colinéaire à e1 .
 Montrer que A et tA ont les mêmes valeurs propres. Soient E1 un vecteur colonne propre pour A pour la valeur
propre  1 et E’2 un vecteur colonne propre pour tA pour la valeur propre  2 . Montrer que tE1E’2 = 0.
 On suppose de plus que E1 est un vecteur colonne de norme euclidienne 1 ; montrer que les valeurs propres de
B  A   1 E1 t E1 sont 0,  2 ,...,  n . Application à la programmation.