Série 2

Faculté des Sciences - Oujda Année universitaire 2016/2017
Département de Mathématiques SMA-S3 Algèbre 4
Série N° 2
Exercice 1. Soit T∈L(R4) l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est
A=
2 0 0 0
4−644
4−424
0−442
.
(1) Calculer le polynôme caractéristique de T.
(2) Montrer que Test diagonalisable et trouver une matrice Ptelle que P−1AP soit diagonale.
(3) Déterminer les fonctions x(t), y(t), z(t), u(t) dérivables de Rdans Ret satisfaisant les
conditions : 
x0=2x
y0=4x−6y+4z+4u
z0=4x−4y+2z+4u
u0= −4y+4z+2u.
Exercice 2. Soient Eun R-espace vectoriel de dimension 2n, avec n≥2, et Tl’endomorphisme
représenté dans une base B={ei: 1 ≤i≤2n} par la matrice
αβα· · · β
β α β · · · α
αβα· · · β
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
β α β · · · α
∈M2n(R)
où α,βsont deux réel non nuls vérifiant |α| 6= |β|.
(1) Calculer le rang de T.
(2) Montrer que 0 ∈Sp(T) et calculer la dimension de E0(T).
(3) Montrer que Test diagonalisable.
Exercice 3. On considère la matrice
A=
1 3 0
3−2−1
0−1 1
.
(1) Diagonaliser la matrice A.
(2) Trouver toutes les matrices Mdans Mn(C) vérifiant M2=A. Cette équation admet-elle une
solution dans Mn(R).
Exercice 4. Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie et T,Sdes endomorphismes de E.
On suppose que T S3=S3Tet Sest diagonalisable.
(1) On pose Sp(S)={λi: 1 ≤i≤k}. Montrer que et S3est diagonalisable et
Sp(S3)={λ3
i: 1 ≤i≤k}.
(2) Montrer que Eλ3
i(S3)=Eλi(S) pour 1 ≤i≤k.
(3) En déduire que T S =ST .
1

Exercice 5. Soient Eun C-espace vectoriel de dimension net Tun endomorphisme de Evérifiant
Im(T2+Id)∩Im(T−Id)={0}.
(1) Donner un polynôme annulateur de T.
(2) Montrer que Test diagonalisable.
(3) Soit Bune base de E. Montrer que si MatB(T)∈Mn(R) alors det(T)=1.
Exercice 6. Soit A=
1 0 0 0
2 1 0 −1
2 0 2 0
0 0 0 1
.
(1) La matrice Aest-elle diagonalisable ?
(2) Trouver une matrice triangulaire supérieure B∈M4(R) semblable à A.
(3) Calculer Anen fonction de n.
(4) On considère les suites réelles suivantes :
un=un−1
vn=2un−1+vn−1−zn−1
wn=2un−1+2wn−1
zn=zn−1.
pour tout n≥1 et u0,v0,w0,z0∈R.
Calculer un,vn,wnet znen fonction de n,u0,v0et w0.
Exercice 7. Soit Eun C-espace vectoriel de dimension n.
(1) Soit U∈L(E). On appelle trace de U, et on note tr(U), la trace de sa matrice dans une base
arbitraire de E. Montrer que tr(U) est bien défini.
Soient T,S∈L(E) deux endomorphismes tels que tr(Tm)=tr(Sm) pour tout m∈N.
(2) On pose Sp(T)={αi: 1 ≤i≤p} et Sp(S)={βj: 1 ≤j≤q}. Montrer que
p
X
i=1
mT(αi)αm
i=
q
X
j=1
mS(βj)βm
jpour tout m∈N.
(3) On pose Sp(T)∪Sp(S)={λk: 1 ≤k≤r} et
γk=
mT(λk)−mS(λk) si λk∈Sp(T)∩Sp(S),
mT(λk) si λk∈Sp(T) \ Sp(S),
−mS(λk) si λk∈Sp(S) \ Sp(T).
Montrer que
∆.
γ1
γ2
.
.
.
γr
=
0
0
.
.
.
0
où ∆=
1 1 · · · 1
λ1λ2· · · λr
.
.
..
.
..
.
.
λr−1
1λr−1 2· · · λr−1
r
.
(4) Montrer que det(∆)=Π1≤i<j≤r(λj−λi).
(5) En déduire que Sp(T)=Sp(S).
(6) Montrer que si tr(Tm)=0 pour tout m∈N, alors Tn=0.
Exercice 8. Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie et T,S∈L(E) deux endomor-
phismes tels que T◦S=0.
(1) Montrer que Tet Sont un vecteur propre commun.
(2) Montrer qu’il existe un base de Edans laquelle les matrices de Tet Ssont triangulaires
supérieures.