Série 2

Faculté des Sciences - Oujda
Département de Mathématiques
Année universitaire 2016/2017
SMA-S3 Algèbre 4
Série N° 2
Exercice 1. Soit T ∈ L (R4 ) l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est


2 0 0 0
 4 −6 4 4 

A=
 4 −4 2 4  .
0 −4 4 2
(1) Calculer le polynôme caractéristique de T .
(2) Montrer que T est diagonalisable et trouver une matrice P telle que P −1 AP soit diagonale.
(3) Déterminer les fonctions x(t ), y(t ),
conditions :
 0
x =


 0
y =
0
z
=


 0
u =
z(t ), u(t ) dérivables de R dans R et satisfaisant les
2x
4x − 6y + 4z + 4u
4x − 4y + 2z + 4u
−4y + 4z + 2u.
Exercice 2. Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2n, avec n ≥ 2, et T l’endomorphisme
représenté dans une base B = {e i : 1 ≤ i ≤ 2n} par la matrice


α β α ··· β
 β α β ··· α 


 α β α ··· β 
 ∈ M2n (R)


 . . . .
.
.
.
.
.
.
 . . .
. . 
β α β ··· α
où α, β sont deux réel non nuls vérifiant |α| 6= |β|.
(1) Calculer le rang de T .
(2) Montrer que 0 ∈ Sp(T ) et calculer la dimension de E 0 (T ).
(3) Montrer que T est diagonalisable.
Exercice 3. On considère la matrice


1 3
0
A = 3 −2 −1 .
0 −1 1
(1) Diagonaliser la matrice A.
(2) Trouver toutes les matrices M dans Mn (C) vérifiant M 2 = A. Cette équation admet-elle une
solution dans Mn (R).
Exercice 4. Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et T , S des endomorphismes de E .
On suppose que T S 3 = S 3 T et S est diagonalisable.
(1) On pose Sp(S) = {λi : 1 ≤ i ≤ k}. Montrer que et S 3 est diagonalisable et
Sp(S 3 ) = {λ3i : 1 ≤ i ≤ k}.
(2) Montrer que E λ3 (S 3 ) = E λi (S) pour 1 ≤ i ≤ k.
i
(3) En déduire que T S = ST .
1
Exercice 5. Soient E un C-espace vectoriel de dimension n et T un endomorphisme de E vérifiant
Im(T 2 + Id ) ∩ Im(T − Id ) = {0}.
(1) Donner un polynôme annulateur de T .
(2) Montrer que T est diagonalisable.
(3) Soit B une base de E . Montrer que si MatB (T ) ∈ Mn (R) alors det(T ) = 1.


1 0 0 0
 2 1 0 −1 

Exercice 6. Soit A = 
 2 0 2 0 .
0 0 0 1
(1) La matrice A est-elle diagonalisable ?
(2) Trouver une matrice triangulaire supérieure B ∈ M4 (R) semblable à A.
(3) Calculer A n en fonction de n.
(4) On considère les suites réelles suivantes :

u n = u n−1



v n = 2u n−1 + v n−1 − z n−1
pour tout n ≥ 1 et u 0 , v 0 , w 0 , z 0 ∈ R.
w n = 2u n−1 + 2w n−1



z n = z n−1 .
Calculer u n , v n , w n et z n en fonction de n, u 0 , v 0 et w 0 .
Exercice 7. Soit E un C-espace vectoriel de dimension n.
(1) Soit U ∈ L (E). On appelle trace de U , et on note tr(U ), la trace de sa matrice dans une base
arbitraire de E . Montrer que tr(U ) est bien défini.
Soient T, S ∈ L (E) deux endomorphismes tels que tr(T m ) = tr(S m ) pour tout m ∈ N.
(2) On pose Sp(T ) = {αi : 1 ≤ i ≤ p} et Sp(S) = {β j : 1 ≤ j ≤ q}. Montrer que
p
X
i =1
mT (αi )αm
i
=
q
X
j =1
mS (β j )βm
j pour tout m ∈ N.
(3) On pose Sp(T ) ∪ Sp(S) = {λk : 1 ≤ k ≤ r } et

 mT (λk ) − mS (λk )
γk = mT (λk )

− mS (λk )
si λk ∈ Sp(T ) ∩ Sp(S),
si λk ∈ Sp(T ) \ Sp(S),
si λk ∈ Sp(S) \ Sp(T ).
Montrer que



∆. 

γ1
γ2
..
.
γr


 
 
=
 
0
0
..
.






 où ∆ = 


0
1
λ1
..
.
1
λ2
..
.
···
···
1
λr
..
.
λ1r −1 λr2−1 · · · λrr −1



.

(4) Montrer que det(∆) = Π1≤i < j ≤r (λ j − λi ).
(5) En déduire que Sp(T ) = Sp(S).
(6) Montrer que si tr(T m ) = 0 pour tout m ∈ N, alors T n = 0.
Exercice 8. Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et T, S ∈ L (E) deux endomorphismes tels que T ◦ S = 0.
(1) Montrer que T et S ont un vecteur propre commun.
(2) Montrer qu’il existe un base de E dans laquelle les matrices de T et S sont triangulaires
supérieures.