Algèbre et Géométrie

Université d’Aix–Marseille Année 2015–2016
L3 Feuille de TD 2
Algèbre et Géométrie
Exercice 1. a. Rappeler la définition de sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E.
b. Rappeler la définition de famille génératrice d’un espace vectoriel E, puis de famille libre.
c. Rappeler les définitions de base et dimension d’un espace vectoriel E.
d. Rappeler la définition d’application linéaire entre deux espaces vectoriels Eet F.
e. Donner la définition de noyau et image d’une application linéaire f:E→F.
f. Commenter l’affirmation suivante :
"Il existe une application linéaire surjective f:M5(R)→R25[X]."
g. Commenter l’affirmation suivante :
"Pour tout A, B ∈Mn(R)on a det(A+B) = det(A) + det(B)."
Exercice 2. a. Soit H={A∈M2(R) : a11 +a12 −a21 +a22 = 0}, montrer que Hest un
sous-espace vectoriel de M2(R).
b. Trouver la dimension de H, ainsi qu’une base.
c. Montrer que l’application définie par T:M2(R)−→ Rdonnée par A7→ a11 +a22 est
linéaire. Trouver la dimension et une base du noyau ker(T).
d. Montrer que ker(T)∩Hest un sous-espace vectoriel de M2(R). Trouver sa dimension,
ainsi qu’une base.
e. Donner la dimension de ker(T) + H. Les deux sous-espaces ker(T)et Hsont ils supplé-
mentaires dans M2(R)? Justifier la réponse.
Exercice 3. Soit B={e1, e2, e3}la base canonique de R3. Soit B={a,b,c}la famille de
vecteurs de R3définie par
a=e1+e2+e3,b=e1+e2+ 3e3,c=e1+ 2e2+ 5e3.
On considère f:R3→R3l’application linéaire définie par
f(a+b) = f(b) = −e1−e2−3e3, f(c) = e1+ 2e2+ 5e3.
a. Montrer que B0est une base de R3.
b. Donner les matrices MB(f) = MB,B(f),MB0(f) = MB0,B0(f),MB,B0(f)et MB0,B(f).
c. Trouver les dimensions et bases de im(f)et ker(f). Dire si fest un automorphisme de
R3, en justifiant la réponse.
d. Trouver tous les vecteurs x∈R3tel que f(x) = b+c.
Exercice 4. Soit A= (aij )16i,j6n∈Mn(R)une matrice. On appelle trace de Ala somme des
coefficients diagonaux de M et on la note tr(A). Plus précisement on définit tr(A) := Pn
i=1 aii.
Dans tout l’exercice, on suppose que A est une matrice triangulaire supérieure.
a. Calculer les coefficients diagonaux de A2en fonction des coefficients de A.
b. Supposons maintenant que A2=A. Montrer que si tr(A) = n, alors Aest inversible. En
déduire que si tr(A) = n, alors A= Idn.

c. Posons B:= Idn−A∈Mn(R). Montrer que l’on a B2=Bsi et seulement si A2=A.
d. Montrer que si A2=Aet tr(A)=0, alors A= 0.
Exercice 5. Pour quelles valeurs des paramètres réels a, b, c, d, e, f les matrices suivantes sont-
elles diagonalisables ?
A=
1a b c
0 2 d e
0 0 2 f
0 0 0 2
,B=
1a b c
0 1 d e
0 0 2 f
0 0 0 2
·
Exercice 6. Soit A=
1 1 −1
1 1 1
1 1 1
.
a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
b. A est-elle diagonalisable ?
c. Déterminer les sous-espaces de R3stables par l’endomorphisme associé à Adans la base
canonique.
Exercice 7. Soit A∈Mn(K)et B=A+aInpour a∈K, et soient
C=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
et D=
16 1 1 1
1 16 1 1
1 1 16 1
1 1 1 16
a. Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si Best diagonalisable.
b. Montrer que Cest diagonalisable et trouver P∈GL4(R)telle que P−1CP soit diagonale.
c. Montrer que Dest diagonalisable et trouver Q∈GL4(R)telle que Q−1DQ soit diagonale.
Exercice 8. Soit dans M3(R),
A=
−2−1 2
−15 −6 11
−14 −6 11
·
a. Aest-elle trigonalisable sur R?
b. Si oui, trouver P∈GL3(R)telle que P−1AP soit triangulaire supérieure.
Exercice 9. Soit dans M5(R),
A=
411−3 4
0003−2
−1−105−4
−1−1−1 5 −3
−2−1−1 3 −2
·
a. Calculer le polynôme caractéristique de A.
b. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A.
c. Déterminer Ddiagonalisable, Nnilpotente telles que A=D+Net DN =ND.
Exercice 10. Soit dans M3(R),A=
0 1 0
1 0 1
1 1 1
·
a. Calculer le polynôme caractéristique χA(X)de A.
b. Effectuer la division euclidienne de Xnpar χA(X)pour n∈N.
c. Calculer Anpar deux méthodes différentes.