Devoir surveillé n Informatique Partie A

Mathématiques spéciales
le 10 Décembre 2016
o
Devoir surveillé n 4
les calculatrices sont autorisées
Partie A
Informatique
3 exercices à traiter
Exercice 1.
gInformatiqueI I(CCP
Informatique
(CCP2013
2013modifié)
modifié)
On munit le plan d’un repère orthonormé. On considère la conique H d’équation cartésienne :
x2 − 13y 2 = 1
1. Tracer l’allure de l’hyperbole H. On précisera sur le dessin les tangentes aux points d’ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.
2. Écrire un algorithme en Python qui renvoie sous la forme d’une liste les éventuels couples
d’entiers naturels (x, y) vérifiant :
{
x2 − 13y 2 = 1
y ≤ 200.
On rappelle qu’en Python la fonction sqrt peut être obtenu grâce au module
la fonction partie entière est appelée int.
1
math
et que
Exercice 2.
gInformatiqueIIII(CCP
Informatique
(CCP2015)
2015)
2
Exercice 3.
gInformatiqueIII
Informatique
III
Dans cet exercice, les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif
à la rédaction et notamment à l’indentation du code.
1. On considère
∑nla fonction Python suivante qui, pour un entier n passé en argument, renvoie
la somme i=0 i2 :
1 def somme_carres(n):
2
""" Somme des entiers compris entre 0 et n chacun élevé au carré """
3
S = 0
4
for i in range(n+1):
5
S = S+i**2
6
return S
a. Déterminer la complexité (temporelle) de cet algorithme en terme d’opérations élémentaires (additions, puissances)
b. Écrire en Python une version récursive de l’algorithme précédent.
2. On considère la fonction Python suivante qui, pour un entier n passé en argument, renvoie
le terme d’indice n d’une suite (un )n∈N :
3
1 def suite(n):
2
""" Calcule le terme d'indice n de la suite """
3
if n == 0:
4
return 2
5
return 2*suite(n-1)-1
{
u0 =?
a. Donner l’expression sous forme d’une suite récurrente
un+1 =?
représentée par l’algorithme suite(n) précédent.
de la suite (un )
b. Déterminer la complexité (temporelle) de cet algorithme en terme d’opérations élémentaires (additions, soustractions, multiplications).
c. Écrire une version itérative de cet algorithme.
d. On considère la fonction Python suivante :
1 def mystere(N):
2
""" Fontion mystere """
3
n = 0
4
while suite(n)<=N:
5
n=n+1
6
return n
Que détermine la fonction
appliquée à un entier N ?
mystere
(qui utilise la fonction
4
suite
définie plus haut)
Partie B
Mathématiques
Pour la partie mathématiques, vous devez choisir 3 exercices à traiter parmi les 4 proposés.
Exercice 1.
Calculer les éléments propres puis diagonaliser, quand c’est possible, les matrices suivantes dans
R:






2
1
0
−2 −3 6
1 1 0
4 −9 C = 1 1 0
A = −2 −2 1  B =  3
−4 −1 −2
0
0
1
0 0 2
Exercice 2.
Soit n ∈ N∗ et E un espace vectoriel de dimension finie n sur K = R ou C.
Soit f, g ∈ L(E). Le but de cet exercice est de répondre à la question suivante : Est-ce que si
f ◦ g est diagonalisable alors g ◦ f est diagonalisable ?
On considère une base B de E et on désigne par A (resp. B) la matrice représentant f (resp. g)
dans cette base.
1. Dans cette question, on suppose f et g inversibles.
a. En utilisant le déterminant det(BAB − λB), démontrer que AB et BA ont le même
polynôme caractéristique.
b. Soit λ une valeur propre de f ◦ g, et soit Eλ (resp. Fλ ) l’espace propre de f ◦ g (resp.
de g ◦ f ) associé à λ. Démontrer les inclusions
g(Eλ ) ⊂ Fλ et f (Fλ ) ⊂ Eλ .
c. Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces Eλ et Fλ ?
d. Montrer que si f ◦ g est diagonalisable, alors g ◦ f est diagonalisable.
2. Dans cette question, on suppose maintenant f et g quelconques.
a. Montrer que si 0 est valeur propre de f ◦ g, alors 0 est valeur propre de g ◦ f .
b. Soit α ∈ K\{0} tel que AB − αI est inversible. On note C son inverse. Vérifier que
(BA − αI)(BCA − I) = αI.
Que peut-on en déduire pour det(BA − αI) ?
c. Déduire de ce qui précède que f ◦ g et g ◦ f ont les mêmes valeurs propres.
d. Donner un exemple simple de matrices A et B tel que AB est diagonalisable, et BA
n’est pas diagonalisable.
5
Exercice 3.
gE3A2016
E3A
2016
Indication.
Une matrice P ∈ Mn (R) vérifie P ⊤ = P −1 si, et seulement si, les vecteurs de Rn correspondant
aux colonnes de P sont orthogonaux deux à deux et sont de norme euclidienne égale à 1.
6
Exercice 4.
gCCP2014
CCP
2014
7