Devoir surveillé n Informatique Partie A

Devoir surveillé no4
Mathématiques spéciales le 10 Décembre 2016
les calculatrices sont autorisées
Informatique
Partie A
Partie A
3 exercices à traiter
Exercice 1.
Exercice 1. gInformatique I (CCP 2013 modié)Informatique I (CCP 2013 modié)
On munit le plan d’un repère orthonormé. On considère la conique Hd’équation cartésienne :
x2−13y2= 1
1. Tracer l’allure de l’hyperbole H. On précisera sur le dessin les tangentes aux points d’or-
donnée nulle ainsi que les branches innies.
2. Écrire un algorithme en Python qui renvoie sous la forme d’une liste les éventuels couples
d’entiers naturels (x, y)vériant :
{x2−13y2= 1
y≤200.
On rappelle qu’en Python la fonction sqrt peut être obtenu grâce au module math et que
la fonction partie entière est appelée int.
1

Exercice 2.
Exercice 2. gInformatique II (CCP 2015)Informatique II (CCP 2015)
2

Exercice 3.
Exercice 3. gInformatique IIIInformatique III
Dans cet exercice, les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif
à la rédaction et notamment à l’indentation du code.
1. On considère la fonction Python suivante qui, pour un entier npassé en argument, renvoie
la somme ∑n
i=0 i2:
1def somme_carres(n):
2""" Somme des entiers compris entre 0 et n chacun élevé au carré """
3S=0
4for iin range(n+1):
5S=S+i**2
6return S
a. Déterminer la complexité (temporelle) de cet algorithme en terme d’opérations élémen-
taires (additions, puissances)
b. Écrire en Python une version récursive de l’algorithme précédent.
2. On considère la fonction Python suivante qui, pour un entier npassé en argument, renvoie
le terme d’indice nd’une suite (un)n∈N:
3

1def suite(n):
2""" Calcule le terme d'indice n de la suite """
3if n== 0:
4return 2
5return 2*suite(n-1)-1
a. Donner l’expression sous forme d’une suite récurrente {u0=?
un+1 =? de la suite (un)
représentée par l’algorithme suite(n)précédent.
b. Déterminer la complexité (temporelle) de cet algorithme en terme d’opérations élémen-
taires (additions, soustractions, multiplications).
c. Écrire une version itérative de cet algorithme.
d. On considère la fonction Python suivante :
1def mystere(N):
2""" Fontion mystere """
3n=0
4while suite(n)<=N:
5n=n+1
6return n
Que détermine la fonction mystere (qui utilise la fonction suite dénie plus haut)
appliquée à un entier N?
4

Mathématiques
Partie B
Partie B
Pour la partie mathématiques, vous devez choisir 3 exercices à traiter parmi les 4 proposés.
Exercice 1.
Exercice 1.
Calculer les éléments propres puis diagonaliser, quand c’est possible, les matrices suivantes dans
R:
A=
2 1 0
−2−2 1
−4−1−2
B=
−2−3 6
3 4 −9
0 0 1 
C=
110
110
002
Exercice 2.
Exercice 2.
Soit n∈N∗et Eun espace vectoriel de dimension nie nsur K=Rou C.
Soit f, g ∈ L(E). Le but de cet exercice est de répondre à la question suivante : Est-ce que si
f◦gest diagonalisable alors g◦fest diagonalisable ?
On considère une base Bde Eet on désigne par A(resp. B) la matrice représentant f(resp. g)
dans cette base.
1. Dans cette question, on suppose fet ginversibles.
a. En utilisant le déterminant det(BAB −λB), démontrer que AB et BA ont le même
polynôme caractéristique.
b. Soit λune valeur propre de f◦g, et soit Eλ(resp. Fλ) l’espace propre de f◦g(resp.
de g◦f) associé à λ. Démontrer les inclusions
g(Eλ)⊂Fλet f(Fλ)⊂Eλ.
c. Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces Eλet Fλ?
d. Montrer que si f◦gest diagonalisable, alors g◦fest diagonalisable.
2. Dans cette question, on suppose maintenant fet gquelconques.
a. Montrer que si 0est valeur propre de f◦g, alors 0est valeur propre de g◦f.
b. Soit α∈K\{0}tel que AB −αI est inversible. On note Cson inverse. Vérier que
(BA −αI)(BCA −I) = αI.
Que peut-on en déduire pour det(BA −αI)?
c. Déduire de ce qui précède que f◦get g◦font les mêmes valeurs propres.
d. Donner un exemple simple de matrices Aet Btel que AB est diagonalisable, et BA
n’est pas diagonalisable.
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