M1 Mathématiques Institut Galilée, 2016-2017
ALGÈBRE LINÉAIRE
Partiel
21 octobre 2016
14h-17h
Exercice 1. Soit fun endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie.
(1) On suppose que fest diagonalisable. Montrer que f2est diagonalisable et ker f= ker f2.
(2) Par un exemple, montrer que si f2est diagonalisable, fn’est pas forcément diagonalisable.
(3) Supposons que f2est diagonalisable et inversible. Montrer que fest diagonalisable. (As-
tuce: utiliser un critère avec les polynômes annulateurs.)
Exercice 2. Soit PK[X]un polynôme unitaire. Calculer le rang de la matrice compagnon
CPselon la valeur de P(0).
Exercice 3. Déterminer la décomposition de Dunford de la matrice
A=
815
2 3 1
411
.
Exercice 4. Soit
A=
21 1 2
14 1 2
0 0 5 4
0 0 11
.
(1) Déterminer le polynôme caractéristique de A.
(2) Montrer que An’est pas diagonalisable.
(3) Déterminer la forme réduite de Jordan de Aet donner le(s) tableau(x) de Young corres-
pondants.
(4) Préciser une base de Jordan et la matrice de passage correspondante.
(5) Calculer le polynôme minimal de A.
(6) En déduire l’expression pour A1.
(7) Donner la forme réduite de Frobenius de A.
Exercice 5. Trouver la forme réduite de Jordan et une base de Jordan de l’endomorphisme u
de K3[X]donné par u(P(X)) = XP 00(X).
Exercice 6. Déterminer les facteurs invariants d’un projecteur de rang r.
2
Exercice 7. (1) Donner une matrice nilpotente Nen forme de Jordan réduite dont la suite
des écarts dim ker Ni+1 dim ker Nivaut 5,3,2,2,1,1. Pour une telle N, calculer la di-
mension de ker N2im N.
(2) Montrer que
rg(A) = rg(B)
µA=µB
χA=χB
n’implique pas AB,
en cherchant un exemple d’un endomorphisme nilpotent en dimension 6.
(3) Soient A, B M8(K)telles que Im A= Ker Aet Im B= Ker B.Aest-elle nécessairement
semblable à B? (Justifier votre réponse.)
(4) Soient A, B M5(K)telles que A5=B5= 0 et rg(A2) = rg(B2)=2.Aest-elle
nécessairement semblable à B? (Justifier votre réponse.)
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