M1 Mathématiques Institut Galilée, 2016

M1 Mathématiques Institut Galilée, 2016-2017
ALGÈBRE LINÉAIRE
Partiel
21 octobre 2016
14h-17h
Exercice 1. Soit fun endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie.
(1) On suppose que fest diagonalisable. Montrer que f2est diagonalisable et ker f= ker f2.
(2) Par un exemple, montrer que si f2est diagonalisable, fn’est pas forcément diagonalisable.
(3) Supposons que f2est diagonalisable et inversible. Montrer que fest diagonalisable. (As-
tuce: utiliser un critère avec les polynômes annulateurs.)
Exercice 2. Soit P∈K[X]un polynôme unitaire. Calculer le rang de la matrice compagnon
CPselon la valeur de P(0).
Exercice 3. Déterminer la décomposition de Dunford de la matrice
A=
8−1−5
−2 3 1
4−1−1
.
Exercice 4. Soit
A=
−2−1 1 2
1−4 1 2
0 0 −5 4
0 0 −1−1
.
(1) Déterminer le polynôme caractéristique de A.
(2) Montrer que An’est pas diagonalisable.
(3) Déterminer la forme réduite de Jordan de Aet donner le(s) tableau(x) de Young corres-
pondants.
(4) Préciser une base de Jordan et la matrice de passage correspondante.
(5) Calculer le polynôme minimal de A.
(6) En déduire l’expression pour A−1.
(7) Donner la forme réduite de Frobenius de A.
Exercice 5. Trouver la forme réduite de Jordan et une base de Jordan de l’endomorphisme u
de K3[X]donné par u(P(X)) = XP 00(X).
Exercice 6. Déterminer les facteurs invariants d’un projecteur de rang r.

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Exercice 7. (1) Donner une matrice nilpotente Nen forme de Jordan réduite dont la suite
des écarts dim ker Ni+1 −dim ker Nivaut 5,3,2,2,1,1. Pour une telle N, calculer la di-
mension de ker N2∩im N.
(2) Montrer que
rg(A) = rg(B)
µA=µB
χA=χB
n’implique pas A∼B,
en cherchant un exemple d’un endomorphisme nilpotent en dimension 6.
(3) Soient A, B ∈M8(K)telles que Im A= Ker Aet Im B= Ker B.Aest-elle nécessairement
semblable à B? (Justifier votre réponse.)
(4) Soient A, B ∈M5(K)telles que A5=B5= 0 et rg(A2) = rg(B2)=2.Aest-elle
nécessairement semblable à B? (Justifier votre réponse.)