M1 Mathématiques Institut Galilée, 2016-2017 ALGÈBRE LINÉAIRE Partiel 21 octobre 2016 14h-17h Exercice 1. Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie. (1) On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f 2 est diagonalisable et ker f = ker f 2 . (2) Par un exemple, montrer que si f 2 est diagonalisable, f n’est pas forcément diagonalisable. (3) Supposons que f 2 est diagonalisable et inversible. Montrer que f est diagonalisable. (Astuce: utiliser un critère avec les polynômes annulateurs.) Exercice 2. Soit P ∈ K[X] un polynôme unitaire. Calculer le rang de la matrice compagnon CP selon la valeur de P (0). Exercice 3. Déterminer la décomposition de Dunford de la matrice 8 −1 −5 1 . A = −2 3 4 −1 −1 Exercice 4. Soit −2 −1 1 2 1 −4 1 2 . A= 0 0 −5 4 0 0 −1 −1 (1) Déterminer le polynôme caractéristique de A. (2) Montrer que A n’est pas diagonalisable. (3) Déterminer la forme réduite de Jordan de A et donner le(s) tableau(x) de Young correspondants. (4) Préciser une base de Jordan et la matrice de passage correspondante. (5) Calculer le polynôme minimal de A. (6) En déduire l’expression pour A−1 . (7) Donner la forme réduite de Frobenius de A. Exercice 5. Trouver la forme réduite de Jordan et une base de Jordan de l’endomorphisme u de K3 [X] donné par u(P (X)) = XP 00 (X). Exercice 6. Déterminer les facteurs invariants d’un projecteur de rang r. 2 Exercice 7. (1) Donner une matrice nilpotente N en forme de Jordan réduite dont la suite des écarts dim ker N i+1 − dim ker N i vaut 5, 3, 2, 2, 1, 1. Pour une telle N , calculer la dimension de ker N 2 ∩ im N . (2) Montrer que rg(A) = rg(B) µA = µB χ = χ A B n’implique pas A ∼ B, en cherchant un exemple d’un endomorphisme nilpotent en dimension 6. (3) Soient A, B ∈ M8 (K) telles que Im A = Ker A et Im B = Ker B. A est-elle nécessairement semblable à B? (Justifier votre réponse.) (4) Soient A, B ∈ M5 (K) telles que A5 = B 5 = 0 et rg(A2 ) = rg(B 2 ) = 2. A est-elle nécessairement semblable à B? (Justifier votre réponse.)