M1 Mathématiques Institut Galilée, 2016

M1 Mathématiques
Institut Galilée, 2016-2017
ALGÈBRE LINÉAIRE
Partiel
21 octobre 2016
14h-17h
Exercice 1. Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie.
(1) On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f 2 est diagonalisable et ker f = ker f 2 .
(2) Par un exemple, montrer que si f 2 est diagonalisable, f n’est pas forcément diagonalisable.
(3) Supposons que f 2 est diagonalisable et inversible. Montrer que f est diagonalisable. (Astuce: utiliser un critère avec les polynômes annulateurs.)
Exercice 2. Soit P ∈ K[X] un polynôme unitaire. Calculer le rang de la matrice compagnon
CP selon la valeur de P (0).
Exercice 3. Déterminer la décomposition de Dunford de la matrice


8 −1 −5
1 .
A = −2 3
4 −1 −1
Exercice 4. Soit

−2 −1 1
2
 1 −4 1
2
.
A=
0
0 −5 4 
0
0 −1 −1

(1) Déterminer le polynôme caractéristique de A.
(2) Montrer que A n’est pas diagonalisable.
(3) Déterminer la forme réduite de Jordan de A et donner le(s) tableau(x) de Young correspondants.
(4) Préciser une base de Jordan et la matrice de passage correspondante.
(5) Calculer le polynôme minimal de A.
(6) En déduire l’expression pour A−1 .
(7) Donner la forme réduite de Frobenius de A.
Exercice 5. Trouver la forme réduite de Jordan et une base de Jordan de l’endomorphisme u
de K3 [X] donné par u(P (X)) = XP 00 (X).
Exercice 6. Déterminer les facteurs invariants d’un projecteur de rang r.
2
Exercice 7. (1) Donner une matrice nilpotente N en forme de Jordan réduite dont la suite
des écarts dim ker N i+1 − dim ker N i vaut 5, 3, 2, 2, 1, 1. Pour une telle N , calculer la dimension de ker N 2 ∩ im N .
(2) Montrer que


rg(A) = rg(B)
µA = µB

χ = χ
A
B
n’implique pas
A ∼ B,
en cherchant un exemple d’un endomorphisme nilpotent en dimension 6.
(3) Soient A, B ∈ M8 (K) telles que Im A = Ker A et Im B = Ker B. A est-elle nécessairement
semblable à B? (Justifier votre réponse.)
(4) Soient A, B ∈ M5 (K) telles que A5 = B 5 = 0 et rg(A2 ) = rg(B 2 ) = 2. A est-elle
nécessairement semblable à B? (Justifier votre réponse.)