2tsicollemath13 - TSI CHAPTAL St

2TSI 2016-2017.
Semaine du 09/01 au 13/01
Lycée Chaptal.
P ROGRAMME DE COLLE SEMAINE n° 13
C HAPITRE 11 : E QUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Ce programme est un programme de révision des notions de première année sur les équations différentielles,
ainsi que des notions sur la réduction des endomorphismes.
1. Equations différentielles linéaire du premier ordre.
Définition d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Problème de Cauchy. Equation homogène associée.
Résolution de l’équation homogène.
Recherche d’une solution particulière. Principe de superposition. Méthode de variation de la constante.
2. Equations différentielles linéaire du second ordre à cœfficients constants.
Définition d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2. Problème de Cauchy. Equation homogène associée.
Résolution de l’équation homogène. Equation caractéristique. Résolution dans C ; résolution dans R.
Recherche d’une solution particulière dans le cas où le second membre est de la forme : x 7→ Ae ωx avec
(A, ω) ∈ C2 .
3. Eléments propres et polynôme caractéristique.
Soit ϕ un endomorphisme d’un espace vectoriel E . Un scalaire λ est une valeur propre de ϕ s’il existe un
vecteur non nul u de E tel que ϕ(u) = λu.
Un vecteur non nul u de E est un vecteur propre de ϕ s’il existe un scalaire λ tel que ϕ(u) = λu.
On appelle sous-espace propre de ϕ associé à la valeur propre λ l’ensemble E λ des vecteurs u de E tels que
ϕ(u) = λu. On a alors : E λ = Ker(λ IdE −ϕ).
L’ensemble des valeurs propres de ϕ est appelé spectre de ϕ et est noté Sp(ϕ).
¡
¢
Polynôme caractéristique d’un endomorphisme ou d’une matrice ; χϕ (x) = det x IdE −ϕ . Les valeurs propres
de ϕ sont les racines de χϕ (x).
Ordre de multiplicité des valeurs propres.
4. Endomorphismes et matrices diagonalisables.
Un endomorphisme ϕ est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de vecteurs propres. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des sous-espaces propres est égale à E . Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si sa matrice canoniquement associée A est semblable à une
matrice diagonale.
Un endomorphisme est diagonalisable sur K si et seulement si :
½
son polynôme caractéristique est scindé sur K
pour chaque valeur propre, dim(E λ ) = ordre de multiplicité de λ
Un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples est diagonalisable.
Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthogonale de vecteurs propres.
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