2tsicollemath13 - TSI CHAPTAL St

2TSI 2016-2017.Semaine du 09/01 au 13/01 Lycée Chaptal.
PROGRAMME DE COLLE SEMAINE n° 13
CHAPITRE 11 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Ce programme est un programme de révision des notions de première année sur les équations différentielles,
ainsi que des notions sur la réduction des endomorphismes.
1. Equations différentielles linéaire du premier ordre.
Définition d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Problème de Cauchy. Equation homogène asso-
ciée.
Résolution de l’équation homogène.
Recherche d’une solution particulière. Principe de superposition. Méthode de variation de la constante.
2. Equations différentielles linéaire du second ordre à cœfficients constants.
Définition d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2. Problème de Cauchy. Equation homogène asso-
ciée.
Résolution de l’équation homogène. Equation caractéristique. Résolution dans C; résolution dans R.
Recherche d’une solution particulière dans le cas où le second membre est de la forme : x7→ Aeωxavec
(A,ω)∈C2.
3. Eléments propres et polynôme caractéristique.
Soit ϕun endomorphisme d’un espace vectoriel E. Un scalaire λest une valeur propre de ϕs’il existe un
vecteur non nul ude Etel que ϕ(u)=λu.
Un vecteur non nul ude Eest un vecteur propre de ϕs’il existe un scalaire λtel que ϕ(u)=λu.
On appelle sous-espace propre de ϕassocié à la valeur propre λl’ensemble Eλdes vecteurs ude Etels que
ϕ(u)=λu. On a alors : Eλ=Ker(λIdE−ϕ).
L’ensemble des valeurs propres de ϕest appelé spectre de ϕet est noté Sp(ϕ).
Polynôme caractéristique d’un endomorphisme ou d’une matrice ; χϕ(x)=det¡xIdE−ϕ¢. Les valeurs propres
de ϕsont les racines de χϕ(x).
Ordre de multiplicité des valeurs propres.
4. Endomorphismes et matrices diagonalisables.
Un endomorphisme ϕest diagonalisable s’il existe une base de Edans laquelle la matrice de ϕest diago-
nale.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de vecteurs propres. Un endo-
morphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des sous-espaces propres est égale à E. Un endo-
morphisme est diagonalisable si et seulement si sa matrice canoniquement associée Aest semblable à une
matrice diagonale.
Un endomorphisme est diagonalisable sur Ksi et seulement si :
½son polynôme caractéristique est scindé sur K
pour chaque valeur propre, dim(Eλ)=ordre de multiplicité de λ
Un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples est diagonalisable.
Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthogonale de vecteurs propres.
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