Exercices utilisant les polynômes

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Mathématiques
Agrégation interne
Exercices utilisant les polynômes
Questions rapides
1. Soient E un espace vectoriel de dimension 2 et f ∈ End(E). On suppose que
Pf (X) = X 2 − 4X + 4 et que f est diagonalisable. Que peut-on dire de f ?
2. Soit f ∈ End(Rn ) un endomorphisme inversible de Rn . Montrer que f −1 est un
polynôme en f .
3. Soit f ∈ End(Rn ) un endomorphisme tel qu’il existe m ∈ N avec f m = 0. Montrer
que f n = 0.
Exercice 1 : Soit E = C[X]. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels
de C[X] ?
1. F1 = {P ∈ E|deg(P ) = n} ;
2. F2 = {P ∈ E|deg(P ) ≤ n} ;
3. F3 = {a + (2a + b)X + bX 2 |a, b ∈ R}.
Exercice 2 : Soit E l’espace vectoriel des polynômes réels de degré plus petit ou égal à
n ∈ N. On définit
E →
E
φ : P 7→ P + (1 − X)P 0 .
1. Montrer que φ est linéaire.
2. Calculer son noyau et son image.
3. φ est-elle diagonalisable ?
Exercice 3 : (Deschamps-Warusfel, Mathématiques 1-ère année DW p577) (Formule de
Taylor pour les polynômes) Notons E = C[X] et pour n ∈ N, En le sous-espace vectoriel
de E des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
1. Montrer que la dérivation D est une application linéaire de E et expliciter sa
matrice dans la base canonique en tant qu’endomorphisme de En . Est-elle diagonalisable ?
2. Montrer que pour tout P ∈ E et tout a ∈ C, on a
P (X) =
+∞
X
P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k
où P (k) désigne la dérivée k-ème de P .
3. En déduire que si P (a) = ... = P (r) (a) = 0 alors il existe un polynôme Q tel que
P (X) = (X − a)r Q(X).
1
Exercice 4 : (Deschamps-Warusfel, Mathématiques 1-ère année p. 723) Soient a, b, c ∈ R.
Résoudre

 x + ay + a2 z = a4
x + by + b2 z = b4

x + cy + c2 z = c4 .
On pourra introduire le polynôme P (X) = X 4 − zX 2 − yX − x.
Exercice 5 : (Gourdon, Algèbre p. 170) Soit f un endomorphisme de rang 1 d’un espace
vectoriel E de dimension finie sur R ou C.
1. Montrer que que f est diagonalisable si et seulement si T r(f ) 6= 0.
2. Dans le cas où f n’est pas diagonalisable, montrer que f 2 = 0.
Exercice 6 : (JM Monier, Algèbre Tome 2, 700 exercices résolus et 16 sujets d’étude, p.
87) Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur C et f un endomorphisme de E.
Soient aussi P1 , · · · , Pk ∈ C[X] des polynômes premiers entre eux et Q = P1 · · · Pk .
1. Montrer que
Ker(Q(f )) = ⊕ki=1 Ker(Pi (f )).
Indication : poser Qi = πj6=i Pj et appliquer Bezout.
P
2. Montrer que la somme ki=1 Ker(Pi (f )) est directe.
3. Soit P C[X] un polynôme non constant. Montrer que λ est valeur propre de P (f )
si et seulement si il existe une valeur propre µ de f telle que λ = P (µ).
Exercice 7 : (JM Monier, Algèbre 2, p. 66) Soient n ≥ 2 et A ∈ GLn (K) (K = R ou C)
une matrice diagonalisable. On suppose que B est matrice qui vérifie B k = A où k > 1.
1. Montrer que B est diagonalisable.
Rappel : une matrice est diagonalisable si et seulement elle possède un polynôme
annulateur scindé à racines simples.
2. Montrer que A et B sont co-diagonalisables.
2
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