Mathématiques Agrégation interne Exercices utilisant les polynômes Questions rapides 1. Soient E un espace vectoriel de dimension 2 et f ∈ End(E). On suppose que Pf (X) = X 2 − 4X + 4 et que f est diagonalisable. Que peut-on dire de f ? 2. Soit f ∈ End(Rn ) un endomorphisme inversible de Rn . Montrer que f −1 est un polynôme en f . 3. Soit f ∈ End(Rn ) un endomorphisme tel qu’il existe m ∈ N avec f m = 0. Montrer que f n = 0. Exercice 1 : Soit E = C[X]. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de C[X] ? 1. F1 = {P ∈ E|deg(P ) = n} ; 2. F2 = {P ∈ E|deg(P ) ≤ n} ; 3. F3 = {a + (2a + b)X + bX 2 |a, b ∈ R}. Exercice 2 : Soit E l’espace vectoriel des polynômes réels de degré plus petit ou égal à n ∈ N. On définit E → E φ : P 7→ P + (1 − X)P 0 . 1. Montrer que φ est linéaire. 2. Calculer son noyau et son image. 3. φ est-elle diagonalisable ? Exercice 3 : (Deschamps-Warusfel, Mathématiques 1-ère année DW p577) (Formule de Taylor pour les polynômes) Notons E = C[X] et pour n ∈ N, En le sous-espace vectoriel de E des polynômes de degré inférieur ou égal à n. 1. Montrer que la dérivation D est une application linéaire de E et expliciter sa matrice dans la base canonique en tant qu’endomorphisme de En . Est-elle diagonalisable ? 2. Montrer que pour tout P ∈ E et tout a ∈ C, on a P (X) = +∞ X P (k) (a) k=0 k! (X − a)k où P (k) désigne la dérivée k-ème de P . 3. En déduire que si P (a) = ... = P (r) (a) = 0 alors il existe un polynôme Q tel que P (X) = (X − a)r Q(X). 1 Exercice 4 : (Deschamps-Warusfel, Mathématiques 1-ère année p. 723) Soient a, b, c ∈ R. Résoudre x + ay + a2 z = a4 x + by + b2 z = b4 x + cy + c2 z = c4 . On pourra introduire le polynôme P (X) = X 4 − zX 2 − yX − x. Exercice 5 : (Gourdon, Algèbre p. 170) Soit f un endomorphisme de rang 1 d’un espace vectoriel E de dimension finie sur R ou C. 1. Montrer que que f est diagonalisable si et seulement si T r(f ) 6= 0. 2. Dans le cas où f n’est pas diagonalisable, montrer que f 2 = 0. Exercice 6 : (JM Monier, Algèbre Tome 2, 700 exercices résolus et 16 sujets d’étude, p. 87) Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur C et f un endomorphisme de E. Soient aussi P1 , · · · , Pk ∈ C[X] des polynômes premiers entre eux et Q = P1 · · · Pk . 1. Montrer que Ker(Q(f )) = ⊕ki=1 Ker(Pi (f )). Indication : poser Qi = πj6=i Pj et appliquer Bezout. P 2. Montrer que la somme ki=1 Ker(Pi (f )) est directe. 3. Soit P C[X] un polynôme non constant. Montrer que λ est valeur propre de P (f ) si et seulement si il existe une valeur propre µ de f telle que λ = P (µ). Exercice 7 : (JM Monier, Algèbre 2, p. 66) Soient n ≥ 2 et A ∈ GLn (K) (K = R ou C) une matrice diagonalisable. On suppose que B est matrice qui vérifie B k = A où k > 1. 1. Montrer que B est diagonalisable. Rappel : une matrice est diagonalisable si et seulement elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples. 2. Montrer que A et B sont co-diagonalisables. 2