Exercices utilisant les polynômes

Math´ematiques Agr´egation interne
Exercices utilisant les polynˆomes
Questions rapides
1. Soient Eun espace vectoriel de dimension 2 et f∈End(E). On suppose que
Pf(X) = X2−4X+ 4 et que fest diagonalisable. Que peut-on dire de f?
2. Soit f∈End(Rn) un endomorphisme inversible de Rn. Montrer que f−1est un
polynˆome en f.
3. Soit f∈End(Rn) un endomorphisme tel qu’il existe m∈Navec fm= 0. Montrer
que fn= 0.
Exercice 1 : Soit E=C[X]. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels
de C[X] ?
1. F1={P∈E|deg(P) = n};
2. F2={P∈E|deg(P)≤n};
3. F3={a+ (2a+b)X+bX2|a, b ∈R}.
Exercice 2 : Soit El’espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e plus petit ou ´egal `a
n∈N. On d´efinit
φ:
E→E
P7→ P+ (1 −X)P0.
1. Montrer que φest lin´eaire.
2. Calculer son noyau et son image.
3. φest-elle diagonalisable ?
Exercice 3 : (Deschamps-Warusfel, Math´ematiques 1-`ere ann´ee DW p577) (Formule de
Taylor pour les polynˆomes) Notons E=C[X] et pour n∈N,Enle sous-espace vectoriel
de Edes polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
1. Montrer que la d´erivation Dest une application lin´eaire de Eet expliciter sa
matrice dans la base canonique en tant qu’endomorphisme de En. Est-elle diago-
nalisable ?
2. Montrer que pour tout P∈Eet tout a∈C, on a
P(X) =
+∞
X
k=0
P(k)(a)
k!(X−a)k
o`u P(k)d´esigne la d´eriv´ee k-`eme de P.
3. En d´eduire que si P(a) = ... =P(r)(a) = 0 alors il existe un polynˆome Qtel que
P(X) = (X−a)rQ(X).
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Exercice 4 : (Deschamps-Warusfel, Math´ematiques 1-`ere ann´ee p. 723) Soient a, b, c ∈R.
R´esoudre 
x+ay +a2z=a4
x+by +b2z=b4
x+cy +c2z=c4.
On pourra introduire le polynˆome P(X) = X4−zX2−yX −x.
Exercice 5 : (Gourdon, Alg`ebre p. 170) Soit fun endomorphisme de rang 1 d’un espace
vectoriel Ede dimension finie sur Rou C.
1. Montrer que que fest diagonalisable si et seulement si T r(f)6= 0.
2. Dans le cas o`u fn’est pas diagonalisable, montrer que f2= 0.
Exercice 6 : (JM Monier, Alg`ebre Tome 2, 700 exercices r´esolus et 16 sujets d’´etude, p.
87) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur Cet fun endomorphisme de E.
Soient aussi P1,· · · , Pk∈C[X] des polynˆomes premiers entre eux et Q=P1· · · Pk.
1. Montrer que
Ker(Q(f)) = ⊕k
i=1Ker(Pi(f)).
Indication : poser Qi=πj6=iPjet appliquer Bezout.
2. Montrer que la somme Pk
i=1 Ker(Pi(f)) est directe.
3. Soit PC[X] un polynˆome non constant. Montrer que λest valeur propre de P(f)
si et seulement si il existe une valeur propre µde ftelle que λ=P(µ).
Exercice 7 : (JM Monier, Alg`ebre 2, p. 66) Soient n≥2 et A∈GLn(K) (K=Rou C)
une matrice diagonalisable. On suppose que Best matrice qui v´erifie Bk=Ao`u k > 1.
1. Montrer que Best diagonalisable.
Rappel : une matrice est diagonalisable si et seulement elle poss`ede un polynˆome
annulateur scind´e `a racines simples.
2. Montrer que Aet Bsont co-diagonalisables.
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