Oraux 2008 - Elements de correction 1 TPE/EIVP : Epreuve Maths 2

Oraux 2008 - Elements de correction 1
Matthieu Zaborowski
TPE/EIVP : Epreuve Maths 2 : Algèbre
Exercice 1
Soit
A = (a1 , a2 ..., an )
appartenant à
M1,n (R)
et Soit
M =t A.A
1) M est elle diagonalisable ?
2) Donner le spectre de M.
3) Quelle est la dimension du commutant de M ?
Exercice 2

Résoudre

1 1 0
M 2 = 0 4 1 
0 0 9
Proposition de correction
Exercice 1
1)
tM
=M
donc M est symétrique réelle donc diagonalisable dans une
BON.
2) M est de rang 1, donc annule le polynôme
demo :
tr(M ) =
n
X
mij =
k=1
n
X
X 2 − tr(M )X
mi ∗ mj = At A
k=1
M 2 = M ∗ M =t A(A ∗t A)A =t A(tr(M ))A = tr(M )M
on a donc un polynome annulateur.
P
tr(M ) = nk=1 a2i et 0. Et ces
deux valeurs sont en fait le spectre de M : si 0 était la seule valeur propre
alors M serait nulle dans une base donc dans toute ; si 0 n'était pas valeur
propres, la matrices serait de rang n. Donc Sp(M ) = {0, tr(M )}
Les seules valeurs propres possibles de M sont
1



3) On sait qu'il existe un BON dans laquelle M est : 


On note
M 0 = P −1 M P
et
tr(M )
0
0
0
.
.
.
···
0

.
.
.
..
.
0
··· ···
B 0 = P −1 BP , M B = BM ⇔ M 0 B 0 = B 0 M 0



.
.
.
0
D'où le commutant est de dimension 1.
Exercice 2

On appelle
A
la matrice

1 1 0
0 4 1 
0 0 9
A est diagonalisable, ses valeurs propres sont 1,4,9 ; on peut trouver les vecteurs propres associés : pour 9 : [1, 8, 40], pour 1 [1, 0, 0], et pour 4 [1, 3, 0],


1 1 1
3 8 , (D = P −1 AP est diagonale).
on pose ainsi P = 0
0 0 40
−1 XP , ϕ est un automorphisme d'algèbre donc :
Ensuite on pose ϕ : X 7→ P
2
2
M = A ⇔ ϕ(M ) = ϕ(A) ⇔ Y 2 = D
2
On appelle u l'endomorphisme associé à M et v celui à A, on a donc u = v .
2
3
2
Or uov = v ov = v = vov = vou Donc v et u commutent. Ainsi, on sait
alors que les sous espaces propres de v sont stables par u. Or ces sous espaces
propres sont de dimension 1, on a directement que Y est diagonale. CQPC.
2