Oraux 2008 - Elements de correction 1 TPE/EIVP : Epreuve Maths 2

A= (a1, a2..., an)M1,n(R)M=tA.A
M2=
110
041
009
tM=M
X2−tr(M)X
tr(M) =
n
X
k=1
mij =
n
X
k=1
mi∗mj=AtA
M2=M∗M=tA(A∗tA)A=tA(tr(M))A=tr(M)M
tr(M) = Pn
k=1 a2
i0
0
0
Sp(M) = {0, tr(M)}

tr(M) 0 · · · 0
0 0
0· · · · · · 0
M0=P−1MP B0=P−1BP MB =BM ⇔M0B0=B0M0
A
110
041
009
P=
1 1 1
0 3 8
0 0 40
D=P−1AP
ϕ:X7→ P−1XP ϕ
M2=A⇔ϕ(M2) = ϕ(A)⇔Y2=D
u2=v
uov =v2ov =v3=vov2=vou