Lecture de l`énoncé

Type : Contrôle continu en amphi
Filière : MIAS 1
Partie d’un sujet
MJ.Bertin MIAS 14 30 Mars 2001 2/2
Durée indicative : 45 minutes
Domaine : algèbre linéaire, polynômes
Mots-clefs : matrices, applications linéaires, valeurs propres, système d’équation,
diagonalisation, polynômes




Enoncé
Lecture de l’énoncé
Indications
Résolution
o Question 1
o Question 2
o Question 3
o Question 4
o Question 5
o Question 6
1
Énoncé
Soit V = R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou
égal à 2 en l’indéterminée X. On note ( e ) = { e1, e2 , e3 } = { 1, X, X2 } la base canonique de
V.
1) Montrer que { 1, X + 1, X ( X + 1) } = { f1, f2 , f3 } = ( f ) est une base de V.
2) Donner la matrice A de passage de la base ( e ) à la base ( f ).
 V V
Soit u l’application linéaire de V dans V 
définie
P  u (P)
par u ( P)( X )  P( X  1)  P( X  1).
3) Montrer que u est un endomorphisme de V.
On munit V espace d’arrivée et de départ de u de la base ( f ).
4) Donner la matrice M de u relative à ces bases.
5) Quel est le rang de u ?
6)
a) Quelles sont les valeurs propres de u ?
b) La matrice M est-elle diagonalisable ?
Début
2
Lecture de l’énoncé
 Domaine : algèbre linéaire
Sujet principal : matrices
Sujets annexes : déterminants, systèmes d’équations linéaires, diagonalisation, polynômes
 Références dans UeL
o module « algèbre linéaire (matrices) »
Début
Indications sur l’énoncé
 Il est connu que V est un espace vectoriel réel de dimension 3 (c’est confirmé par
l’introduction où l’on parle de la base canonique).
 Endomorphisme de l’espace vectoriel réel V : synonyme de application R-linéaire de
V dans V.
 Matrice de passage (à savoir par coeur) : les colonnes sont les coordonnées des
vecteurs de la nouvelle base ( f ) sur l’ancienne ( e ).
 Question 5) penser que le rang de u est aussi celui de M.
Début
3
Résolution
Soit V = R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou
égal à 2 en l’indéterminée X. On note ( e ) = { e1, e2 , e3 } = { 1, X, X2 } la base canonique de
V.
1) Montrer que { 1, X + 1, X ( X + 1) } = { f1, f2 , f3 } = ( f ) est une base de V.
Comme on sait que V est de dimension 3 et que ( f ) a 3 éléments on va, au choix,
montrer que ( f ) est libre ou est génératrice.
Puisque e1  f1 , e2  f 2  f1 , e3  f 3  f 2  f1 , la famille ( f ) est génératrice . Etant de
cardinal 3, égal à la dimension de V, c’est une base de V.
On peut aussi montrer que ( f ) est libre
soit en résolvant l’équation af1  bf 2  cf 3  0. Considérant le terme de degré 2
on obtient c = 0, le terme de degré 1 donne alors b = 0 et finalement a = 0
soit en calculant le déterminant des composantes des vecteurs de ( f ) sur ( e ) :
1 1 0
0 1 1  1.
0 0
1
2) Donner la matrice A de passage de la base ( e ) à la base ( f ).
Les colonnes de la matrice A de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle
1 1 0 


base ( f ) sur l’ancienne ( e ) donc A   0 1  1 .
0 0 1 


 V V
Soit u l’application linéaire de V dans V 
définie
P  u (P)
par u ( P)( X )  P( X  1)  P( X  1).
3) Montrer que u est un endomorphisme de V.
On vérifie que pour tout a réel et pour tous P et Q dans V, on a
u (aP  Q)( X ) 
(aP  Q)( X  1)  (aP  Q)( X  1)
 a( P( X  1)  P( X  1))  Q( X  1)  Q( X  1)

au ( P)  u (Q)( X )
Donc u est bien linéaire et comme la somme de 2 polynômes de degré au plus é est de degré
au plus 2 , l’image est bien contenue dans V.
4
On munit V espace d’arrivée et de départ de u de la base ( f ).
4) Donner la matrice M de u relative à ces bases.
Comme u( f1 )  2 f1 , u( f 2 )  2 X  2  2 f 2 , u( f 3 )  2 X ( X  1)  2  2 f 3  2 f1 , on a
 2 0 2


M   0 2 0 .
 0 0 2


5) Quel est le rang de u ?
2 0 2
det( M )  0 2 0  8 donc la matrice est inversible et elle est de rang 3.
0 0 2
6)
a) Quelles sont les valeurs propres de u ?
Les valeurs propres de u sont celles de M et comme M est triangulaire, il suffit de les lire sur
la diagonale principale : 2 est valeur propre triple.
b) La matrice M est-elle diagonalisable ?
Si M était diagonalisable,, puisque 2 est valeur propre triple, elle serait semblable à la matrice
2I , qui est invariante par changement de base (I commute à toutes les matrices) et on aurait
M = 2I, ce qui n’est pas donc M n’est pas diagonalisable.
On aurait pu aussi chercher l’espace propre associé à la valeur propre 2 , on trouve
qu’il est de dimension 2 (il est engendré par f1 et f2) donc M n’est pas diagonalisable.
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