PSI Janvier 2017 MATHEMATIQUES Feuille d`Exercices Topologie

PSI
MATHEMATIQUES
Janvier 2017
Feuille d’Exercices
Topologie dans les espaces vectoriels normés
Exercice 1. :
1. Soit A et B deux parties d’un espace vectoriel normé.Démontrer que
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A ∩ B ⊂ A ∩ B; A ∪ B = A ∪ B; A
∩ B =A ∩ B; A ∪ B⊂ A
∪B
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2. Soit A = [0, 1[∪]1, 2[∪([3, 4] ∩ Q) ∪ {5}. Montrer que A est une partie de R telle que A, A, A, A
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, A, A et A sont deux à deux distinctes.
Exercice 2. Soit f une application de R dans R. On appelle , graphe de f , l’ensemble Γ =
{(x, f (x))/x ∈ R}. Montrer que si f est continue, alors son graphe est fermé.
◦
Exercice 3. Soit A une partie non vide et convexe d’un e.v.n. Montrer que A et A sont convexes.
Exercice 4. Soit A ∈ Mp (C) diagonalisable.
1. Soit une suite (Mn )n de matrices semblables à A convergente vers B. En utilisant les polynômes
annulateurs, montrer que B est diagonalisable.
2. Montrer que χA = χB .
3. Montrer que l’ensemble des matrices semblables à A est fermé dans Mp (C).
Exercice 5. Soit E un e.v.n, et A une partie non vide de E. Pour x ∈ E, on pose d(x, A) =Inf kx−ak
a∈A
(qui se lit « distance de x à A »).
1. Montrer que d(x, A) est bien définie et prouver que :
∀(x, y) ∈ E × E, |d(x, A) − d(y, A)| ≤ kx − yk
2. En déduire que x 7−→ d(x, A) est continue sur E.
3. Montrer que d(x, A) = 0 ⇐⇒ x est adhérent à A.
Exercice 6. Etudier la continuité de la fonction f définie par f (x, y) =
ex .
1
ex − ey
si x 6= y et f (x, x) =
x−y
Exercice 7. Soit K la partie de Rn définie par :
K = {(x1 , · · · , xn ) ∈ (R+ )n /x1 + x2 + · · · + xn ≥ 0}
1. Montrer que K est un fermé et borné de Rn .
2. Montrer que l’application de K dans R :
n
(x1 , · · · , xn ) 7−→ Π xi
i=1
a un maximum qu’elle atteint en un point où toutes les coordonnées sont égales.
3. En déduire que la moyenne géométrique de n réels positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique.
Exercice 8.
1. Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme kf k1 =
ϕ : E 7→ R, f 7−→ f (c) n’est pas continue.
R1
0
|f (t)|dt et c ∈]0, 1[. Montrer que l’application
2. Soit E = C([0, 1], R).On considère les normes kf k1 =
R1
|f (t)|dt et kf k∞ = Sup |f (t)|dt.
t∈[0,1]
Z x
On définit l’endomorphisme ϕ de E défini par : ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], ϕ(f )(x) =
tf (t)dt.
0
Montrer que ϕ est continue de (E, k.k1 ) dans (E, k.k∞ )
2
0