PSI Janvier 2017 MATHEMATIQUES Feuille d`Exercices Topologie

PSI Janvier 2017
MATHEMATIQUES
Feuille d’Exercices
Topologie dans les espaces vectoriels normés
Exercice 1. :
1. Soit Aet Bdeux parties d’un espace vectoriel normé.Démontrer que
A∩B⊂A∩B;A∪B=A∪B;
◦
\
A∩B=
◦
A∩
◦
B;
◦
A∪
◦
B⊂
◦
\
A∪B
2. Soit A= [0,1[∪]1,2[∪([3,4] ∩Q)∪ {5}. Montrer que Aest une partie de Rtelle que A,
◦
A,
◦
A,
◦
◦
A
, A,
◦
Aet
◦
Asont deux à deux distinctes.
Exercice 2. Soit fune application de Rdans R. On appelle , graphe de f, l’ensemble Γ =
{(x, f(x))/x ∈R}. Montrer que si fest continue, alors son graphe est fermé.
Exercice 3. Soit Aune partie non vide et convexe d’un e.v.n. Montrer que
◦
Aet Asont convexes.
Exercice 4. Soit A∈ Mp(C)diagonalisable.
1. Soit une suite (Mn)nde matrices semblables à Aconvergente vers B. En utilisant les polynômes
annulateurs, montrer que Best diagonalisable.
2. Montrer que χA=χB.
3. Montrer que l’ensemble des matrices semblables à A est fermé dans Mp(C).
Exercice 5. Soit Eun e.v.n, et Aune partie non vide de E. Pour x∈E, on pose d(x, A) =Inf
a∈Akx−ak
(qui se lit « distance de x à A »).
1. Montrer que d(x, A)est bien définie et prouver que :
∀(x, y)∈E×E, |d(x, A)−d(y, A)| ≤ kx−yk
2. En déduire que x7−→ d(x, A)est continue sur E.
3. Montrer que d(x, A) = 0 ⇐⇒ xest adhérent à A.
Exercice 6. Etudier la continuité de la fonction fdéfinie par f(x, y) = ex−ey
x−ysi x6=yet f(x, x) =
ex.
1

Exercice 7. Soit Kla partie de Rndéfinie par :
K={(x1,· · · , xn)∈(R+)n/x1+x2+· · · +xn≥0}
1. Montrer que Kest un fermé et borné de Rn.
2. Montrer que l’application de Kdans R:
(x1,· · · , xn)7−→ n Π
i=1 xi
a un maximum qu’elle atteint en un point où toutes les coordonnées sont égales.
3. En déduire que la moyenne géométrique de nréels positifs est inférieure à leur moyenne arith-
métique.
Exercice 8.
1. Soit E=C([0,1],R)muni de la norme kfk1=R1
0|f(t)|dt et c∈]0,1[. Montrer que l’application
ϕ:E7→ R, f 7−→ f(c)n’est pas continue.
2. Soit E=C([0,1],R).On considère les normes kfk1=R1
0|f(t)|dt et kfk∞= Sup
t∈[0,1]
|f(t)|dt.
On définit l’endomorphisme ϕde Edéfini par : ∀f∈E, ∀x∈[0,1], ϕ(f)(x) = Zx
0
tf(t)dt.
Montrer que ϕest continue de (E, k.k1)dans (E, k.k∞)
2