Notes de cours - Nombres Complexes

6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.1.
1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES ............................................................................................................ 1
1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES ................................................................................ 3
I. Introduction .......................................................................................................................... 3
II. Définitions ............................................................................................................................ 3
III. Isomorphisme ....................................................................................................................... 4
IV. Opérations dans l'ensemble des nombres complexes ............................................................. 4
1. Egalité ........................................................................................................................................... 4
2. Addition ........................................................................................................................................ 4
3. Multiplication scalaire ................................................................................................................ 5
4. Multiplication dans l'ensemble des nombres complexes ........................................................ 5
5. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition .................................................... 6
V. Propriétés .............................................................................................................................. 7
1. Propriétés des nombres complexes conjugués .......................................................................... 7
2. Propriétés du module .................................................................................................................. 7
VI. Calcul dans l'ensemble des nombres complexes ................................................................. 8
1. Addition et soustraction .............................................................................................................. 8
2. Multiplication et division ............................................................................................................ 8
3. Racine carrée ............................................................................................................................... 9
VII. Résolution d’une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes ..
......................................................................................................................................... 10
1. Équation à coefficients réels (a, b, c
R
) ............................................................................. 10
2. Équation à coefficients complexes (a, b, c
C
) ................................................................... 10
VIII. Représentation géométrique des complexes .................................................................. 11
IX. Forme trigonométrique d’un nombre complexe ............................................................... 12
1. Définition .................................................................................................................................... 12
2. Passage de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme trigonométrique ......... 12
3. Égalité de deux complexes mis sous forme trigonométrique ................................................. 13
4. Produit de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique ................................ 13
5. Inverse d’un nombre complexe mis sous forme trigonométrique ......................................... 14
6. Quotient de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique .............................. 14
7. Racines nes d’un nombre complexe (équation binôme) .......................................................... 15

6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.2.
X. Forme matricielle des nombres complexes ....................................................................... 16
1. Analogie entre l’ensemble des nombres complexes et un sous-ensemble des matrices 2 x 2. .
..................................................................................................................................................... 16
2. Conclusions ................................................................................................................................ 16
XI. Nombres complexes et transformations du plan ............................................................... 17

6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.3.
1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES
I. Introduction
Considérons les équations suivantes :
04)4( 05)3(054)2(02)1( 22  xxxx
 Dans
N
(ensemble des naturels), l’équation (1) n’admet pas de solution. 0n résout ce
problème en créant les nombres négatifs. Dans
Z
(ensemble des entiers), cette
équation a comme solution -2.
 Dans
Z
, l’équation (2) n’a pas de solution. On introduit les fractions. Dans
Q
(ensemble des rationnels), cette équation a comme solution
4
5
.
 Dans
Q
, l’équation (3) n’a pas de solution. C’est pourquoi on introduit les nombres
irrationnels. Dans
R
(ensemble des réels), l’équation (3) admet deux solutions :
55 et
.
 Dans
R
, l’équation (4) n’a pas de solution. C'est pourquoi on crée de nouveaux
nombres : les nombres complexes. Il forment l’ensemble
C
et permettent de
déterminer les solutions de cette équation.
Remarque
Historiquement, ce n’est pas en cherchant les solutions d’une équation du second degré,
mais celles d’une équation du 3e degré que les mathématiciens italiens du XVIe siècle
furent confrontés à la racine carrée d’un nombre négatif. Cardano (1501-1576), Tartaglia
(1499-1557) et Ferrari (1522-1565) désignèrent par le symbole
1
, la racine carrée
apparemment inexistante de -1 et c’est Bombelli (1526-1572) qui établit les règles de
calcul des nombres complexes. Dès lors, une équation de degré n possède n solutions.
II. Définitions
 Nous définissons le nombre i par la formule
i21 
i et - i sont les racines carrées de - 1.
 Si
,,a b z a bi  R
est un nombre complexe.
Si
b z a 0 ,
est un réel, ce qui entraîne que
R
est inclus dans
C
.
Si
a b z bi  0 0et ,
est un imaginaire pur.
 a est la partie réelle du nombre complexe z, b est sa partie imaginaire.
z a bi 
est le nombre complexe conjugué du nombre complexe
z a bi 
z a b 
2 2
est le module (ou valeur absolue) de z .

6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.4.
III. Isomorphisme
1
Nous voyons donc que chaque complexe
abi
peut-être associé à un couple de
réels, à savoir le couple
( , )a b
et réciproquement, chaque couple de réels
( , )a b
peut être
associé au complexe
abi
.
Nous avons donc créé une bijection entre l’ensemble
C
et l’ensemble
2
R
.
D’autre part, il existe un isomorphisme entre l’ensemble
2,R
des couples de réels
et le plan
0,
muni d’une base.
En munissant l’ensemble
C
des opérations d’addition, de multiplication scalaire et de
multiplication, nous allons le transformer en un espace vectoriel
,,RC
et en un champ
2
(non ordonné)
,,C
.
IV. Opérations dans l'ensemble des nombres complexes
Remarque
Dans la suite
, ', ''...z z z
représentent respectivement les nombres complexes
,a bi
' ' ,a b i
'' ''a b i
….
1. Égalité
''a bi a b i  
si et seulement si
'
'
aa
bb
Des nombres complexes sont égaux si et seulement leurs parties réelles sont égales ainsi
que leurs parties imaginaires.
2. Addition
ibbaaibaiba )'()'()''()( 
Dans
2
R
, nous avons
( , ) ( ', ') ( ', ')a b a b a a b b   
. Ceci montre clairement
l’existence d’un isomorphisme de groupes entre
,C
et
2,R
. Les propriétés de
2,R
peuvent donc être transférées à
,C
N.B. : L’addition de nombres complexes se réduit à l’addition de nombres réels.
,C
est un groupe commutatif :
La loi + dans
C
est définie par :
ibbaaibabiazz )'()'()''()(' 
Cette loi est interne et partout définie, associative, commutative, l’élément neutre est
0
et tout élément
bia
possède un symétrique
iba 
, appelé opposé.
(Ceci est dû au fait que
2
R
,+ est un groupe commutatif).
1
Considérons deux ensembles A et B, chacun muni d’une loi de composition (que, pour simplifier, nous
appellerons « addition »). Un isomorphisme de A dans B est une bijection de A dans B telle que l’image
de la somme de deux éléments de A soit la somme de leurs images.
2
Un champ K est un ensemble muni de deux opérations appelées l'une "addition" et l'autre
"multiplication" telles que
,K
est un groupe commutatif,
0,.K
(où 0 est l'élément neutre pour l'assition)
est un groupe commutatif et que l'a multiplication est distributive para rapport à l'addition.

6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.5.
3. Multiplication scalaire k(a + bi) = ka +kbi
Dans
2
R
, nous avons
k a b k a kb( , ) ( , )
. Ceci montre clairement l’existence d’un
isomorphisme d’espaces vectoriels entre
,RC,
et
2
,,RR
. Les propriétés de la
multiplication scalaire dans
2
,,RR
peuvent donc être transférées à
,RC,
qui est un
espace vectoriel.
Note
La multiplication scalaire se réduit à deux multiplications de réels.
4. Multiplication dans l'ensemble des nombres complexes
ibababbaaibaiba )''()''()''(.)( 
En pratique, il suffit d’effectuer suivant la règle du produit de polynômes et de remplacer
1
2pari
.
Les propriétés de groupe ne sont plus ici aussi évidentes.
a. Opération interne et partout définie : évident d’après la définition.
b. Associativité
On veut montrer que :
, ', " : ' " ' "z z z zz z z z z  C
zz aa bb ab a b i' ( ' ') ( ' ' )   
( ') '' ( ' ') ( ' ' ) ( '' " )zz zaa bb ab a b i a b i    
       ( ' " ' " ' " ' ") ( ' " ' " ' " ' ")aa abb aab b a bb aa bbb bab a a ba i
z z a a b b a b a b i' " ( ' " ' ") ( ' " " ')   
z z z a bi a a b b a b a b i( ' ") ( ) ( ' " ' ") ( ' " " ')    
       ( ' " ' " ' " '' ') ( ' " ' " ' " ' ")aa aab bba bba b a a b bb baa bab a i
d’où :
zz z z z z' " ' "
bgbg
et l’opération est associative.
c. Commutativité
On veut montrer que :
, ' : ' 'z z z z z z  C
zz aa bb ab a b i' ( ' ') ( ' ' )   
z z a a b b b a a b i' ( ' ' ) ( ' ' )   
d’où :
zz z z' '
et l’opération est commutative.
d. Le neutre doit être 1 (pour que cette opération prolonge l’opération
correspondante dans
R
).
Il est évident d’après la définition que le nombre
1 1 0  i
est neutre à gauche et
à droite pour la multiplication. Il est unique.
e. Existe-t-il un symétrique à tout élément z de
C
. Si oui, lequel ?
On cherche donc un nombre complexe
z i z z
1 1 1
tel que
( )( )   i a bi 1