Notes de cours - Nombres Complexes

1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES ............................................................................................................ 1
1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES................................................................................ 3
I.
Introduction .......................................................................................................................... 3
II. Définitions ............................................................................................................................ 3
III. Isomorphisme ....................................................................................................................... 4
IV. Opérations dans l'ensemble des nombres complexes ............................................................. 4
1.
Egalité ........................................................................................................................................... 4
2.
Addition ........................................................................................................................................ 4
3.
Multiplication scalaire ................................................................................................................ 5
4.
Multiplication dans l'ensemble des nombres complexes ........................................................ 5
5.
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition .................................................... 6
V.
Propriétés .............................................................................................................................. 7
1.
Propriétés des nombres complexes conjugués .......................................................................... 7
2.
Propriétés du module .................................................................................................................. 7
VI. Calcul dans l'ensemble des nombres complexes ................................................................. 8
1.
Addition et soustraction .............................................................................................................. 8
2.
Multiplication et division ............................................................................................................ 8
3.
Racine carrée ............................................................................................................................... 9
VII.
Résolution d’une équation du second degré dans l'ensemble des nombres complexes ..
......................................................................................................................................... 10
1.
Équation à coefficients réels (a, b, c  R ) ............................................................................. 10
2.
Équation à coefficients complexes (a, b, c  C ) ................................................................... 10
VIII. Représentation géométrique des complexes .................................................................. 11
IX. Forme trigonométrique d’un nombre complexe ............................................................... 12
1.
Définition .................................................................................................................................... 12
2.
Passage de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme trigonométrique......... 12
3.
Égalité de deux complexes mis sous forme trigonométrique ................................................. 13
4.
Produit de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique ................................ 13
5.
Inverse d’un nombre complexe mis sous forme trigonométrique ......................................... 14
6.
Quotient de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique .............................. 14
7.
Racines nes d’un nombre complexe (équation binôme) .......................................................... 15
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.1.
X.
Forme matricielle des nombres complexes ....................................................................... 16
1.
Analogie entre l’ensemble des nombres complexes et un sous-ensemble des matrices 2 x 2. .
..................................................................................................................................................... 16
2.
Conclusions ................................................................................................................................ 16
XI. Nombres complexes et transformations du plan ............................................................... 17
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.2.
1re partie : LES NOMBRES COMPLEXES
I.
Introduction
Considérons les équations suivantes :
(1) x  2  0
(2) 4 x  5  0
(3) x 2  5  0
(4) x 2  4  0
 Dans N (ensemble des naturels), l’équation (1) n’admet pas de solution. 0n résout ce
problème en créant les nombres négatifs. Dans Z (ensemble des entiers), cette
équation a comme solution -2.
 Dans Z , l’équation (2) n’a pas de solution. On introduit les fractions. Dans Q
(ensemble des rationnels), cette équation a comme solution 
5
.
4
 Dans Q , l’équation (3) n’a pas de solution. C’est pourquoi on introduit les nombres
irrationnels. Dans R (ensemble des réels), l’équation (3) admet deux solutions :
5 et  5 .
 Dans R , l’équation (4) n’a pas de solution. C'est pourquoi on crée de nouveaux
nombres : les nombres complexes. Il forment l’ensemble C et permettent de
déterminer les solutions de cette équation.
Remarque
Historiquement, ce n’est pas en cherchant les solutions d’une équation du second degré,
mais celles d’une équation du 3e degré que les mathématiciens italiens du XVIe siècle
furent confrontés à la racine carrée d’un nombre négatif. Cardano (1501-1576), Tartaglia
 1 , la racine carrée
(1499-1557) et Ferrari (1522-1565) désignèrent par le symbole
apparemment inexistante de -1 et c’est Bombelli (1526-1572) qui établit les règles de
calcul des nombres complexes. Dès lors, une équation de degré n possède n solutions.
II.
Définitions
2
 Nous définissons le nombre i par la formule i  1
i et - i sont les racines carrées de - 1.
 Si a , b  R , z  a  bi est un nombre complexe.
Si b  0 , z  a est un réel, ce qui entraîne que R est inclus dans C .
Si a  0 et b  0 , z  bi est un imaginaire pur.
 a est la partie réelle du nombre complexe z, b est sa partie imaginaire.


z  a  bi est le nombre complexe conjugué du nombre complexe z  a  bi
z  a 2  b 2 est le module (ou valeur absolue) de z .
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.3.
III. Isomorphisme1
Nous voyons donc que chaque complexe a  bi peut-être associé à un couple de
réels, à savoir le couple ( a , b) et réciproquement, chaque couple de réels ( a , b) peut être
associé au complexe a  bi .
Nous avons donc créé une bijection entre l’ensemble C et l’ensemble R2 .
D’autre part, il existe un isomorphisme entre l’ensemble R2 , des couples de réels
et le plan  0 ,  muni d’une base.
En munissant l’ensemble C des opérations d’addition, de multiplication scalaire et de
multiplication, nous allons le transformer en un espace vectoriel R, C , et en un champ2
(non ordonné) C , ,  .
IV.
Opérations dans l'ensemble des nombres complexes
Remarque
Dans la suite z, z ', z ''... représentent respectivement les nombres complexes a  bi ,
a ' b ' i , a '' b '' i ….
1. Égalité
a  a '
a  bi  a ' b ' i si et seulement si 
b  b '
Des nombres complexes sont égaux si et seulement leurs parties réelles sont égales ainsi
que leurs parties imaginaires.
2. Addition
Dans
( a  b i )  ( a 'b ' i )  ( a  a ' )  ( b  b ' ) i
R2 , nous avons
(a , b)  (a ', b')  (a  a ', b  b' ) . Ceci montre clairement
l’existence d’un isomorphisme de groupes entre C , et R2 , . Les propriétés de R2 ,
peuvent donc être transférées à C ,
N.B. : L’addition de nombres complexes se réduit à l’addition de nombres réels.
C , est un groupe commutatif :
La loi + dans C est définie par : z  z '  ( a  bi )  ( a ' b ' i )  ( a  a ' )  ( b  b ' ) i
Cette loi est interne et partout définie, associative, commutative, l’élément neutre est 0
et tout élément a  bi possède un symétrique  a  b i , appelé opposé.
(Ceci est dû au fait que R2 ,+ est un groupe commutatif).
Considérons deux ensembles A et B, chacun muni d’une loi de composition (que, pour simplifier, nous
appellerons « addition »). Un isomorphisme de A dans B est une bijection de A dans B telle que l’image
de la somme de deux éléments de A soit la somme de leurs images.
2 Un champ K est un ensemble muni de deux opérations appelées l'une "addition" et l'autre
"multiplication" telles que K ,  est un groupe commutatif, K 0 ,. (où 0 est l'élément neutre pour l'assition)
est un groupe commutatif et que l'a multiplication est distributive para rapport à l'addition.
1
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.4.
3. Multiplication scalaire
k(a + bi) = ka +kbi
Dans
R2 , nous avons
k (a , b)  ( k a , k b) . Ceci montre clairement l’existence d’un
isomorphisme d’espaces vectoriels entre R , C ,  et R, R2 , . Les propriétés de la
multiplication scalaire dans R, R2 , peuvent donc être transférées à R , C ,  qui est un
espace vectoriel.
Note
La multiplication scalaire se réduit à deux multiplications de réels.
4. Multiplication dans l'ensemble des nombres complexes
( a  b i ) . (a 'b ' i )  ( a a 'b b ' )  ( a b ' a ' b ) i
En pratique, il suffit d’effectuer suivant la règle du produit de polynômes et de remplacer
i 2 par  1 .
Les propriétés de groupe ne sont plus ici aussi évidentes.
a. Opération interne et partout définie : évident d’après la définition.
b. Associativité
On veut montrer que :  z, z ', z "  C :  z z '  z "  z  z ' z " 
 z z'  (aa 'bb' )  (ab'a ' b) i
( zz') z' '  (aa 'bb' )  (ab'a ' b) i (a ''b" i )
 (aa ' a"bb' a"ab' b"a ' bb")  (aa ' b"bb' b"ab' a"a ' ba") i
 z' z"  (a ' a"b' b")  (a ' b"a" b' ) i
z ( z' z")  (a  bi ) (a ' a"b' b")  (a ' b"a" b' ) i
 (aa ' a"ab' b"ba ' b"ba '' b' )  (a ' a" b  bb' b"aa ' b"ab' a") i
b g b get l’opération est associative.
d’où : z z ' z"  z z ' z"
c. Commutativité
On veut montrer que :  z, z '  C : z z '  z ' z


z z'  (aa 'bb' )  (ab'a ' b) i
z ' z  (a ' a  b' b)  (b' a  a ' b) i
d’où : z z'  z' z et l’opération est commutative.
d. Le neutre doit être 1 (pour que cette opération prolonge l’opération
correspondante dans R ).
Il est évident d’après la définition que le nombre 1  1  0 i est neutre à gauche et
à droite pour la multiplication. Il est unique.
e. Existe-t-il un symétrique à tout élément z de C . Si oui, lequel ?
On cherche donc un nombre complexe z 1     i tel que z 1 z  1
(   i ) (a  bi )  1
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.5.
a  b  1
ou

b  a  0
a

  a ²  b ²

   b

a ²  b²
Il faut donc a  bi  0 , ce qui était à prévoir.
Donc tout complexe non nul admet un symétrique à gauche ( et dès lors à droite, vu
la commutativité) pour la multiplication, qui s’écrit : z 1 
1 a  bi

z a 2  b2
et qui
s’appelle inverse de z.
Il résulte de ceci que C ,  n’est pas un groupe puisque 0 n’a pas d’inverse. Par contre,
C 0 , (où C0  C \ 0 ) est un groupe commutatif.
En effet, on a sans problème :
 z , z '  C 0 , zz '  C 0
 associativité, par héritage de C dans C 0
 neutre : 1C 0
a  bi
 C0
a 2  b2
 commutativité, par héritage de C dans C 0 .
 symétrique de z : z 1 
5.
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
b g
 z, z' , z" C : z z' z"  zz' zz"

z' z"  (a 'a")  (b'b") i
z( z' z")  a(a'a")  b(b'b")  i a(b'b")  b(a'a")
z( z' z")  (aa 'aa"bb'bb")  i (ab'ab"ba 'ba")
z z'  (aa 'bb' )  i (ab'a ' b)

z z"  (aa"bb")  i (ab" a" b)
zz' zz"  (aa 'aa"bb'bb")  i (ab'ab"a ' b  a" b)
d’où : z z' z"  zz' zz"
b g
En résumé
est un groupe commutatif ;

C ,

C 0 , est un groupe commutatif ;
 la multiplication distribue l’addition dans C .
Ceci se traduit mathématiquement par :
C,  ,  est un champ
De ce qui précède, il résulte clairement que R  C et que  x, y, z  R , l’addition et la
multiplication définies dans R ou dans C donnent le même résultat.
C prolonge donc R
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.6.
V.
Propriétés
1. Propriétés des nombres complexes conjugués
 z  z  ( a  b i )  ( a  b i )  2a  R
 z.z  (a  bi ).(a  bi)  a 2  b2  R
La somme et le produit de deux nombres complexes conjugués sont des nombres
réels.
2. Propriétés du module
  z C : z  z
Évident d’après la définition
  z C : z
Évident d’après la définition

2
 zz
z 0

z0
  z C : z  0
 z, z '  C : z z '  z z '
En effet : * z  a 2  b2
et
z z'  a 2  b 2
z '  a '2  b '2
a ' 2 b' 2  (a 2  b 2 ) (a ' 2 b' 2 )
 a 2 a '2 b 2 a '2  a 2b'2 b 2b'2
* zz'  (aa 'bb')  i (ab'a ' b)
z z'  (aa 'bb' ) 2  (ab'a ' b) 2  a 2 a ' 2 2aa ' bb'b 2 b' 2 a 2 b' 2 2aa ' bb'a ' 2 b 2
 a 2 a '2 b 2 a '2  a 2b'2 b 2b'2
 z  C0 :
1
1

z
z
En effet : z  C0 , on a successivement :
1
z.  1
z
1
z.  1
z
1
z .
1
z
1
1

z
z
 z  C , z   C0 :
z
z

z'
z'
Évident d’après ce qui précède
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.7.
 z  C : z  z  2 z
En effet : z  z  2a
z  a 2  b2
et
or a  a 2  b 2 ,
d'où 2 a  2 a2  b2 ,
c'est-à-dire z  z  2 z
(Inégalité de Minkowski)
 z , z '  C : z  z '  z  z '
z  z '  (a  a ' )  (b  b' ) i
z  z'

2
 (a  a') 2  (b  b') 2  a 2  a' 2 2aa 'b 2  b' 2 2bb'
z  z'

2
 z
Montrer que
2
 z '  2 z z '  a 2  b 2  a '2  b '2  2 a 2  b 2 a '2  b '2
2
z  z'  z  z'
c’est-à-dire aa 'bb' 
revient à montrer que
z  z' 
2
cz  z' h
a 2  b2 a '2 b'2
 Si aa 'bb'  0 , la ligne précédente est évidente.
 Si aa 'bb'  0 , cette ligne peut s’écrire :
baa'bb'g ca  b hca' b' h
2
ou
ou
2
2
2
2
a 2 a' 2 b 2 b' 2 2aa' bb'  a 2 a' 2 a 2b' 2 b 2 a' 2 b 2b' 2
0  a 2 b' 2 b 2 a' 2 2aa' bb'
b
ou
g ce qui est aussi évident.
0  ab'ba '
2
VI. Calcul dans l'ensemble des nombres complexes
1. Addition et soustraction
Exemples
 (3  2i )  (5  4i )  3  2i  5  4i  8  2i
 (  2  i )  ( 4  4 i )  2  i  4  4 i  6  5 i
2. Multiplication et division
Exemples
 ( 2  i ) .( 3  4 i )  6  8 i  3i  4 i 2  6  8 i  3i  4  10  5 i
1
1  2i
1  2i 1  2i 1  2i 1 2




  i

1  2 i (1  2 i ) (1  2 i ) 1  4 i 2 1  4
5
5 5
3i
(3  i) (1  2 i) 3  6 i  i  2 i 2 3  6 i  i  2 5  5 i




 1 i

1  2 i (1  2 i) (1  2 i)
1  4i2
1 4
5
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.8.
2
3. Racine carrée
Un nombre complexe admet toujours deux racines carrées opposées.
Note
Dans le cas où z est un réel, les racines sont faciles à calculer. Dans les autres cas, il est
aisé de voir que les racines carrées seront de la forme x  iy avec xy  0 .
Exemples
 Les racines carrées de - 3 sont
3 i et - 3 i car

3i

2

 3 et  3 i

2
 3 .
 Recherchons les racines carrées de 3  4 i
Méthode 1 : on cherche un nombre complexe x  y i tel que ( x  y i) 2  3  4 i
x 2  y 2  2 xy i  3  4 i
R
x y 3

S
T2 xy  4
R
|Sx 23x  4  0
|Ty  x
2
4
(1)
2
2
R
|Sx 2y
|Ty  x
2
R
2I
G
J3
||x  F
H
xK
S
||y  2
T x
2
2
3

4
R
|x  x
S
||y  2
T x
2
2

2
3
(1)
( 2)
x 4  3x 2  4  0
  9  4(1) ( 4)  25
35
35
 4 et x22 
 1
2
2
Comme x 2 est un nombre réel, x22  1 est à rejeter.
x12 
x12  4 d'où x  2 ou x  2
2
Pour x  2, on trouve y   1 .
2
2
Pour x  2, on trouve y 
 1 .
2
Les racines carrées sont donc : 2  i ,  2  i
Méthode 2 : on cherche un nombre complexe x  y i tel que ( x  y i) 2  3  4 i
 x²  y ²  3
 x ²  ( y ²)  3
 x²  y ²  3
 x²  y ²  3


 
  x ² y ²  4   x ².( y ²)  4

2 xy  4
 xy  2
 xy  0
 xy  0


2
2
On cherche donc deux nombres réels x et  y dont la somme est 3 et dont le
produit est – 4
On obtient x 2  4 et  y 2  1 , ce qui donne x  2 ou x  2 et y  1 ou y  1
or
xy  0
Les racines carrées sont donc : 2  i ,  2  i
Remarque
Il n’y a que deux combinaisons de signes correctes car le produit xy a le même signe que
la partie imaginaire.
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.9.
VII. Résolution d’une équation du second degré dans l'ensemble
des nombres complexes
On veut résoudre l’équation : az 2  bz  c  0,
a, b, c  C, a  0
1. Équation à coefficients réels (a, b, c  R )
Résoudre l'équation z 2  2 z  5  0
  ( 2) 2  4(1) (5)  4  20  16  16 i 2  (4i ) 2
z
2  4i
2
et
z  1  2 i ou z  1  2 i
2. Équation à coefficients complexes (a, b, c  C )
1 2
z  ( i  4 ) z  5  10 i  0
2
1
  (i  4) 2  4
(5  10 i )  i 2  8 i  16  10  20 i  5  12 i
2
On calcule les racines du discriminant  :
 x²  y ²  5
 x ²  ( y ²)  5
 x²  y ²  5


  x ² y ²  36   x ².( y ²)  36

2 xy  12
 xy  0
 xy  0


Résoudre l'équation
F
IJ
G
HK
On obtient x 2  9 et  y 2  4 , ce qui donne x  3 ou x  3 et y  2 ou y  2
Comme xy  0 ,   5  12i  (3  2i ) 2 et
z
ce qui entraîne
(i  4)  (3  2 i)
1
z  7  i ou z  1  3i
Conclusion
Dans l’ensemble des nombres complexes, toute équation du second degré possède deux
racines (distinctes ou non). En particulier, lorsque ses coefficients sont réels, ses racines
sont soit réelles, soit complexes conjuguées.
Ceci devient évident au départ de la formule qui permet de déterminer les racines d'une
équation du second degré :
x
b  b 2  4ac
2a
Tout trinôme du second degré est donc factorisable dans C :
az 2  bz  c  a ( z  z1 ) . ( z  z2 )
Généralisation
Dans l’ensemble des nombres complexes, toute équation de degré n possède n solutions
complexes ou réelles.
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.10.
VIII.
Représentation géométrique des complexes
Considérons un système d’axes orthonormés :
y
P
b
A
tout
nombre
complexe
z  a  bi
faisons correspondre le point
coordonnées ( a , b ) .
a
P de
x
P est le point image du complexe z.
On dit que z est l’affixe du point P.
L’ensemble des points images des nombres complexes est le plan de Gauss ou plan
complexe.
Remarques
1. L’axe Ox est appelé axe réel (c’est l’ensemble des points images des nombres réels).
2. L’axe Oy est appelé axe des imaginaires (c’est l’ensemble des points images des
nombres imaginaires purs).
3. Les points images de nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à
l’axe réel (Ox).
Propriétés
Si P1 et P2 sont les points images de z1 et z 2 , alors le point image P de z1  z2 est tel que
OP  OP1  OP2 et le point image R de rz1 est tel que OR  r OP1 .
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.11.
IX. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Définition
y
Appelons P le point image de z  a  b i . On a
P
b
P( a , b )


O
x
a
P est déterminé par :
ˆ

 : mesure en radians de l'angle xOP


 : distance OP
 est l’argument de z, il est déterminé à 2k près (k  Z )
 est le module de z, donc   z  a 2  b 2
a

cos     a   cos 

Si   0 on a :

sin   b  b   sin 


z peut s’écrire z  a  b i   cos   sin  i   ( cos  i sin  )
Remarque
On écrit parfois z   cis
z   (cos  i sin ) est la forme trigonométrique du nombre complexe z  a  bi
Réciproquement, à toute forme trigonométrique
z   (cos  i sin  ) correspond le
complexe z  a  bi avec a   cos et b   sin  .
2. Passage de la forme algébrique d'un nombre complexe à sa forme
trigonométrique
Il suffit de calculer  et 
Exemple
Écrire le nombre z  1  i sous sa forme trigonométrique.
On cherche  et  tels que z  1  i   ( cos  i sin  )
 

 1
2
 12  2
R
||cos  21   2 2
S
||sin  1  2
T 2 2
 
3
4
3
3 I
F
 i sin J
G
H 4
4K
z  2 cos
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.12.
3. Égalité de deux complexes mis sous forme trigonométrique
Considérons deux nombres complexes
z  a  b i   ( cos  i sin  )
z '  a 'b ' i   ' (cos 'i sin  ' )
Ces deux nombres sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs
arguments dont égaux à un multiple de 2  près, ce qui s'écrit :
 '  
z'  z 

 '    k 2 ( k  Z )
4. Produit de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique
z  a  b i   ( cos  i sin  )
z '  a 'b ' i   ' (cos 'i sin  ' )
zz '   (cos  i sin  ) .  ' (cos 'i sin  ' )
   ' cos cos 'i cos sin  'i sin  cos 'i 2 sin  sin  '
   ' cos cos ' sin  sin  'i (cos sin  ' sin  cos ' )
b
  ' cos(   ')  i sin(   ')
g
Le produit de deux nombres complexes est un nombre complexe
 dont le module est le produit des modules de ces nombres : zz'    '
 dont l’argument est la somme des arguments de ces nombres : Arg(zz’) =  + ’
Généralisation
Le produit de n nombres complexes s'écrit sous forme trigonométrique :
z  z1.z2 .z3 .
.zn  1.2 .3 .
. n  cos(1  2  3 
 n )  i sin(1  2  3 
Il en résulte que la ne puissance d’un complexe s’écrit :
z n  z.z.z.
.z  (cos   i sin )  n (cos n  i sin n)
n
Donc: z n  n (cos n  i sin n)
,
n
Dans le cas particulier où  = 1, on a la formule de MOIVRE :
 cos  i sin 
n
 cos n  i sin n
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.13.
,
n
 n ) 
5. Inverse d’un nombre complexe mis sous forme trigonométrique
On considère un nombre complexe z différent de 0. On a
1 1

 cos ( )  i sin ( )
z 

En effet :
1
1
z .   (cos  i sin  ). cos     i sin    
z

1
  . cos   ( )   i sin   ( )  

 cos 0  i sin 0  1
6. Quotient de deux nombres complexes mis sous forme trigonométrique
z 
 cos    '  i sin    '
z'  ' 
Évident d’après ce qui précède.
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.14.
7. Racines nièmes d’un nombre complexe (équation binôme)
On veut déterminer les racines nièmes de z   (cos  i sin  ) , c'est-à-dire des nombres
z '   '(cos ' i sin ') tels que ( z ')n  z . On a
 'n cos n 'i sin n '   cos  i sin 
R
'  
S
Tn '    k 2
R
|S'    k 2
|T '  n
n
n

  k 2
  k 2 

z '  n   cos
 i sin
 , k
n
n


Conclusions
 Tout nombre complexe a n racines nièmes complexes : pour les trouver, il suffit de
remplacer dans l'expression précédente k par 0,1,..,n - 1.
 Les points images de ces racines nièmes sont les n sommets d’un n-gone régulier inscrit
dans le cercle de rayon
n
 et de centre O.
Exemple
Déterminer les racines cubiques de z  1  i .
 Recherchons d'abord la forme trigonométrique
successivement :
z  1 i
:
de
ce
nombre.
Il
vient
a 1 , b 1
  12  12  2
R
||cos 
S
||sin 
T
1
2

2
2
1
2

2
2
 

4

I
F
 i sin J
G
H 4 4K
Il est maintenant facile de déterminer les racines cubiques demandées :
F   k 2   k 2 I

2 I

2 II
F
F
F
J
4
4
z' 
2G
cos

i
sin

2
cos

k

i
sin

k
G
J
G
J
G
G
J
H
K
H
KJ
H
K
3
3
12
3
12
3
G
J
H
K
z  2 cos

3
6
ce qui donne :

I
F
 i sin J
G
H 12 12 K
Fcos 9  i sin 9 IJ
2G
H 12 12 K
Fcos 17  i sin 17 IJ
2G
H 12
12 K
 k 0
z1'  6 2 cos
 k 1
z2'  6
 k 2
z3'  6
 On peut représenter les solutions sur un cercle de rayon
6
2
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.15.
X.
Forme matricielle des nombres complexes
1. Analogie entre l’ensemble des nombres complexes et un sous-ensemble des
matrices 2 x 2.
Exemples
i² = - 1
3² = 9
2
- 1  0
.
0  1
- 1   1

0   0
0
1
  1
- 1
0
0

1
2
0 3
.
3   0
0  9

3   0
0
1
  9
9
0
0

1
2
- 1  3
.
3  1
(0 + 1.i)² = -1
0

1
- 1
0
  
0
1
(3 + 0.i)² = 9
3

0
0 3
 
3   0
3

1
- 1
3
  
3
1
(3 + i)² = 9 + 6i –1 = 8 + 6i
- 1  8

3   6
- 6

8 
Généralisation
a
Au nombre complexe a + bi, associons la matrice 
b
- b
 et vérifions si les lois
a 
d’addition, de multiplication et de multiplication scalaire dans l’ensemble des nombres
complexes et dans l’ensemble des matrices de ce type génèrent la même structure.
Considérons deux nombres complexes Considérons deux matrices carrées 2 x 2
a + bi et a’ + b’i (a, a’, b et b’ étant des  a - b 
 a ' - b' 

 et 
 (a, a’, b et b’ étant des
réels) et un réel r.
a
a' 
b
 b'
réels) et un réel r.
 (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 (a + bi).(a’ + b’i)
= aa’ – bb’ + (ab’ + ba’)i
 r(a+ bi) = ra+ rbi
- b   a'
+ 
a   b'
- b'   a  a' - (b  b' ) 
 = 

a'   b  b'
a  a' 

a

b

 a b   a ' b '   aa ' bb '  ab ' ba ' 

. 


 b a   b ' a '   ba ' ab ' bb ' aa ' 
 aa ' bb ' (ab ' ba ') 


aa ' bb ' 
 ab ' ba '

 a b   ra
r 
 = 
 b a   rb
- rb 

ra 
2. Conclusions
1. Les deux ensembles munis des trois lois ont exactement les mêmes structures.
a
b
2. La matrice 
- b
 est la forme matricielle du nombre complexe a + bi,
a 
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.16.
XI. Nombres complexes et transformations du plan
Nous savons qu’à tout nombre complexe a  bi correspond un et un seul point du plan de
Gauss de coordonnées ( a , b ) . Dans ce chapitre, nous désirons étudier les conséquences de
certaines transformations du plan sur les points images des nombres complexes.
Note
Afin d’alléger le texte, nous confondrons le point et le nombre complexe correspondant.

1. Que devient z  a  bi lorsqu’on lui fait subir la translation de vecteur v ( x, y ) ?

A z, on peut associer le vecteur z ( a, b) .
 


Après avoir subi la translation de vecteur v , z devient z  v dont les coordonnées sont
(a  x , b  y ) . Il en résulte que z devient z'  (a  x )  (b  y )i .
2. Par une symétrie de centre O, z  a  bi devient z'   z  a  bi .
x
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.17.
3. Par une symétrie d’axe Ox, z  a  bi devient z '  z  a  bi .
x
4. Par une symétrie d’axe Oy, z  a  bi devient z '   z   a  bi .
x
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.18.
5. Pour trouver l’image de z  a  bi par une rotation de centre O et d’angle , passons
à sa forme trigonométrique : z   cos  i sin  . Une rotation d’angle  ne modifie
b
g
pas le module du nombre z (les rotations conservent les distances), mais son argument
est augmenté de .
Donc z'   cos(   )  i sin(   ) .
x
6. Pour trouver l’image de z  a  bi par une homothétie de centre O et de rapport k,
passons à sa forme trigonométrique : z   cos  i sin  . Une homothétie ne modifie
b
pas
les
angles,
z '  k (cos  i sin  ) .
mais
multiplie
les
distances
g
par
son
rapport.
Donc
On peut aussi travailler sur la forme algébrique : par une homothétie de centre O et


de rapport k, tout vecteur v devient le vecteur k v . Donc z'  kz  ka  kbi .
x
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.19.
7. Enfin, pour trouver l’image de z  a  bi par une similitude directe de rapport k, de
centre O et d’angle , il faut se souvenir qu’une telle similitude est la composée d’une
homothétie de centre O et de rapport k et d’une rotation de centre O et d’angle . Il y
a donc lieu de travailler avec la forme trigonométrique de z. Ce qui précède montre
alors clairement que z'  k cos(   )  i sin(   ) .
x
On peut voir aussi les choses en sens inverse :

1. La transformation qui à z associe z '  z  t est une translation de vecteur t
2. La transformation qui à z associe son opposé z '   z   a  bi est la symétrie de centre
O.
3. La transformation qui à z associe z '  z  a  bi est la symétrie d’axe Ox.
4. La transformation qui à z associe z '   z   a  bi est la symétrie d’axe Oy.
5. La transformation qui à z associe z'   cos(   )  i sin(   ) est la rotation de
centre O et d’angle .
6. La transformation qui à z associe z '  kz  k(cos   i sin ) est une homothétie de
rapport k et de centre O.
7. La transformation qui à z associe z'  k cos(   )  i sin(   )
directe de centre O, de rapport k et d’angle .
6e année - 1re partie : Les nombres complexes - p.20.
est la similitude