PARTIE I - Nombres complexes

MODULE C - Licence 1
MATHEMATIQUES
Année 2013-2014
Université Blaise Pascal
PARTIE I - Nombres complexes
– Exercice 1 –
1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
1 + i 2010
2 + 5i 2 − 5i
3 + 6i
,
z3 =
,
z2 =
+
.
z1 =
3 − 4i
1−i
1−i
1+i
2. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
√
z1 = −1 − i 3,
z2 = −9i,
z3 = 2 − 2i,
z4 = −7
3. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
z1 = 1 + eiϕ ,
z2 = eiϕ + eiθ
où
(θ, ϕ) ∈ R2 .
4. Calculer le module et l’argument de
√
√
6+i 2
et
z2 = 1 + i.
z1 =
2
π
π
z1
et sin
?
En déduire le module et l’argument de . Que valent cos
z2
12
12
– Exercice 2 –
Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
– Exercice 3 –
Soit x un nombre réel.
1. Exprimer sin(5x) et cos(5x) en fonction de sin(x) et cos(x).
2. Linéariser (cos x)4 et (cos x)3 (sin x)2 .
– Exercice 4 –
Soient θ ∈ R et n ∈ N.
n
n
X
X
sin(kθ);
cos(kθ) et S =
1. Calculer C =
k=0
k=0
2. Calculer B =
n X
k=0
n
cos(kθ).
k
– Exercice 5 –
Résoudre dans C les équations suivantes :
z 2 = 4 − 3i,
2iz 2 + (1 + 2i)z + 1 = 0,
z 2 − (1 + 2i)z + 1 + 7i = 0,
z 2 + 2iz + 2 − 4i = 0.
1