PARTIE I - Nombres complexes

MODULE C - Licence 1 Ann´ee 2013-2014
MATHEMATIQUES Universit´e Blaise Pascal
PARTIE I - Nombres complexes
– Exercice 1 –
1. Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :
z1=3 + 6i
3−4i, z2=1 + i 1−i2010
, z3=2 + 5i
1−i+2−5i 1 + i .
2. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
z1=−1−i√3, z2=−9i, z3= 2 −2i, z4=−7
3. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
z1= 1 + eiϕ, z2=eiϕ+eiθo`u (θ, ϕ)∈R2.
4. Calculer le module et l’argument de
z1=√6 + i√2
2et z2= 1 + i.
En d´eduire le module et l’argument de z1
z2
. Que valent cos π
12et sin π 12?
– Exercice 2 –
Quels sont les nombres complexes dont le carr´e est ´egal au conjugu´e ?
– Exercice 3 –
Soit xun nombre r´eel.
1. Exprimer sin(5x) et cos(5x) en fonction de sin(x) et cos(x).
2. Lin´eariser (cos x)4et (cos x)3(sin x)2.
– Exercice 4 –
Soient θ∈Ret n∈N.
1. Calculer C=
n
X
k=0
cos(kθ) et S=
n
X
k=0
sin(kθ);
2. Calculer B=
n
X
k=0 n
kcos(kθ).
– Exercice 5 –
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
z2= 4 −3i,2iz2+ (1 + 2i)z+ 1 = 0,
z2−(1 + 2i)z+ 1 + 7i = 0, z2+ 2iz+ 2 −4i = 0.
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