Compléments sur les complexes

Compléments sur les complexes
Commentaires : Les objectifs sont :
1- Aisance dans la manipulation des écritures algébrique et exponentielle, et dans
les calculs
2- Manipulation des racines nième d’un nombre complexes
3- Résolution des équation du second degré à coefficients complexes
1- Ecritures algébrique et exponentielle
Exercice
1.
1- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
z1=
3 6i
3 4i
, z2=
2010
1i
1i
, z3=
5 2i 2 5i
1 i 1 i
.
2- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : z1 = −1−
3
i ; z2
= −9i ; z3 = 2−2i et z4 = −7.
3- Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2010
1 i 3
u2
et
2010
1i
v1i
.
4- Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
z1=1+ei, z2= ei+ ei
où (,) ².
5- Calculer le module et l’argument de z1=
6 i 2
1i
et de z2=1+i. En déduire le
module et l’argument de
1
2
z
z
. Que valent
7
cos 12
et de
7
sin 12
?
Exercice
2.
Soit x .
1- Exprimer sin(5x) et cos(5x) en fonction de sin(x) et cos(x).
2- Linéariser cos4(x) et cos3(x)sin2(x).
Exercice
3.
Soit   et n .
1- Calculer C =
n
k0
cos(k )
, S=
n
k0
sin(k )
.
2- Calculer B=
n
k0
ncos(k )
k
.
2- Racines nième
Exercice
4.
Soit j =
13
i
22
.

1- Ecrire j sous forme exponentielle et représenter dans le plan j et j2.
2- Calculer 1 + j + j2.
3- Calculer jn pour n  (on pourra distinguer plusieurs cas).
4- Soient a, b, c trois complexes donnés. Résoudre le système suivant :
x y z a
xjy j² z b
x j² y jz c
Exercice
5.
Racines d’un nombre complexe
1- Déterminer les racines cinquièmes de
4
3
1 i 3
1i
. Les tracer dans le plan
complexe.
2- Déterminer les racines nièmes de
1i
1i
.
Exercice
6.
Pour z , on pose : P(z) = (z + 1)5 − (z − 1)5.
1- Développer P(z) puis résoudre l'équation P(z) = 0.
2- Résoudre d'une autre façon l'équation P(z) = 0. On pourra pour cela utiliser les
racines de l'unité.
3- En déduire la valeur de tan
5
en fonction de radicaux.
Exercice
7.
(exercice assez dur)
Soient les nombres complexes :
2i
7
e
, Z1=++4 et Z2=++6.
1- Montrer que Z1 et Z2 sont conjugués. Calculer Z1 + Z2 et en déduire la partie réelle
de Z1. 2- Calculer Z1Z2, puis la partie imaginaire de Z1. En déduire la valeur de
2 4 8
sin sin sin
7 7 7
.
3- Equation du second degré à coefficients complexes
Exercice
8.
Résoudre dans  les équations suivantes :
1. z²=4-3i
2. 2iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0
3. z2 − (1 + 2i)z + (1 + 7i) = 0
4. z2 + 2iz + 2 − 4i = 0