TD 1 : Nombres complexes

Lycée G. Eiffel Bordeaux
ATS 2016-2017
R. Monjarret
TD 1 : Nombres complexes
Exercice 1
Soit (u, v) ∈ C2 . Les assertions suivantes sont-elles correctes ?
1. Re(u × v) = Re(u) × Re(v)
2
2
5. u + iv = i(v + iu)
2
2. |u + v| = |u| + 2uv + |v|
6. |u| = |v| ⇐⇒ |u|2 = |v|2
3. u + iv = 0 ⇐⇒ u = v = 0
7. i = ei 2
4. |u + iv| = |v + iu|
8. eu = 1 ⇐⇒ u = 0
π
Exercice 2
Mettre sous forme algébrique les complexes suivants :
2
z1 = (3 − 2i)(1 + 5i)
z7 =
z4 = 1−i
1+i
z2 = (1 −
4i)(1 + 6i)
z8 =
√
z5 = (1 − i)4
1+i 3
z3 = i
1
z9 =
z6 = 1+i
π
1
2−i
1−4i
1+5i
√
1+i
√ 3
3−i
z10 = −ei 2
3π
z11 = ei 2
π
π
z12 = ei 3 + e−i 3
Exercice 3
Calculer les modules des complexes suivants :
z1 = 3 − 7i
√
z3 = 1 + i 3
z2 = 32 i
√
z4 = (1 + i 3)6
z5 =
√ 2
1+i 3
1+i
Exercice 4
π
5iπ
π
On pose : z1 = ei 6 , z2 = e−i 3 et z3 = e− 6 .
Déterminer l’écriture exponentielle, puis l’écriture algébrique, des complexes suivants :
Z1 = z1 z2 z3
Z2 =
z1
z2 z3
Z3 = z22
Exercice 5
Déterminer l’écriture exponentielle des complexes suivants :
z1 = 20
z2 = 7i
√
z4 = − 3 + i
z3 = 3 − 3i
z5 =
Exercice 6
Soit θ ∈ R. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
1 − eiθ , ee
iθ
, eiθ + e2iθ
Exercice 7
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
1 + i , 1 − j , 4ab + 2(a2 − b2 ) avec (a, b) 6= (0, 0)
Exercice 8
Soit θ ∈ R. Exprimer cos(4θ) en fonction de cos(θ). Puis linéariser cos4 θ et sin3 θ.
1
4
1+i
Exercice 9
Résoudre dans C : 2z 3 − 3z 2 + (7 + 3i)z + 2i − 6 = 0, sachant qu’une des solutions est imaginaire
pure.
Exercice 10
Résoudre dans C les équations suivantes :
z 2 + z + 1 = 0 , − 3z 2 + 6z + 1 = 0 , 2z 2 + (4 + i)z + 3 + 6i = 0
Exercice 11
À quelle condition sur le complexe z a-t-on z 2 − z ∈ iR ?
Exercice 12
π
Soit a := e2i 5 .
1. Calculer a5 et montrer que
∀k ∈ Z, a5−k = ak .
2. Calculer A := 1 + a + a2 + a3 + a4 .
3. Vérifier |a| = 1 et montrer que a3 = a2 et a4 = a. En déduire une autre écriture de A.
4. Montrer alors que
(a + a)2 + a + a − 1 = 0.
5. En déduire l’expression exacte de cos( 2π
).
5
Exercice 13
Résoudre dans C les équations suivantes :
2 z+1
z+1
3
+
+ 1 = 0 , z 4 + 2z 2 + 4 = 0
z = 2 − 2i ,
z−1
z−1
Exercice 14
Déterminer sous forme exponentielle les racines 8emes de z = √1+i
.
3−i
Exercice 15
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que :
z−3 √2
=1
=
1. z−3
2.
z−5
z−5
2
Exercice 16
Soit n un entier pair. Calculer les sommes suivantes :
An := Cn0 − Cn2 + Cn4 + . . . + Cnn ,
Bn := Cn1 − Cn3 + Cn5 + . . . + Cnn−1 .
Exercice 17
Soient n ∈ N et x ∈ R. Montrer l’égalité suivante :
sin x + sin 2x + . . . + sin nx =
sin nx
sin (n+1)x
2
2
.
sin x2
Exercice 18
Le but de cet exercice est déterminer, selon la valeur du réel m, le nombre de solutions de l’équation
suivante :
(Em ) : (m − 1)x2 − (m + 2)x + (6 − m) = 0
1.
2.
3.
4.
Résoudre (E1 ).
Calculer ∆m , discriminant de (Em ) et étudier son signe.
Déterminer le nombre de solutions de (Em ) selon les valeurs de m.
Lorsque (Em ) admet une solution double, donner la valeur de cette solution.
2