TD 1 : Nombres complexes

Lycée G. Eiffel Bordeaux
ATS 2016-2017
R. Monjarret
TD 1 : Nombres complexes
Exercice 1
Soit (u, v)∈C2. Les assertions suivantes sont-elles correctes ?
1. Re(u×v) = Re(u)×Re(v)
2. |u+v|2=|u|2+ 2uv +|v|2
3. u+iv = 0 ⇐⇒ u=v= 0
4. |u+iv|=|v+iu|
5. u+iv =i(v+iu)
6. |u|=|v| ⇐⇒ |u|2=|v|2
7. i=eiπ
2
8. eu= 1 ⇐⇒ u= 0
Exercice 2
Mettre sous forme algébrique les complexes suivants :
z1= (3 −2i)(1 + 5i)
z2= (1 −4i)(1 + 6i)
z3=1+i√3
i
z4=1−i
1+i2
z5= (1 −i)4
z6=1
1+i
z7=1
2−i
z8=1−4i
1+5i
z9=1+i√3
√3−i
z10 =−eiπ
2
z11 =ei3π
2
z12 =eiπ
3+e−iπ 3
Exercice 3
Calculer les modules des complexes suivants :
z1= 3 −7i z2=3
2i z3= 1 + i√3z4= (1 + i√3)6z5=1+i√3
1+i2
Exercice 4
On pose : z1=eiπ
6,z2=e−iπ 3et z3=e−
5iπ
6.
Déterminer l’écriture exponentielle, puis l’écriture algébrique, des complexes suivants :
Z1=z1z2z3Z2=z1
z2z3Z3=z2
2
Exercice 5
Déterminer l’écriture exponentielle des complexes suivants :
z1= 20 z2= 7i z3= 3 −3i z4=−√3 + i z5=4
1+i
Exercice 6
Soit θ∈R. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
1−eiθ ,eeiθ ,eiθ +e2iθ
Exercice 7
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :
1 + i,1−j,4ab + 2(a2−b2) avec (a, b)6= (0,0)
Exercice 8
Soit θ∈R. Exprimer cos(4θ)en fonction de cos(θ). Puis linéariser cos4θet sin3θ.
1

Exercice 9
Résoudre dans C: 2z3−3z2+ (7 + 3i)z+ 2i−6 = 0, sachant qu’une des solutions est imaginaire
pure.
Exercice 10
Résoudre dans Cles équations suivantes :
z2+z+ 1 = 0 ,−3z2+ 6z+ 1 = 0 ,2z2+ (4 + i)z+ 3 + 6i= 0
Exercice 11
À quelle condition sur le complexe za-t-on z2−z∈iR?
Exercice 12
Soit a:= e2iπ
5.
1. Calculer a5et montrer que
∀k∈Z, a5−k=ak.
2. Calculer A:= 1 + a+a2+a3+a4.
3. Vérifier |a|= 1 et montrer que a3=a2et a4=a. En déduire une autre écriture de A.
4. Montrer alors que
(a+a)2+a+a−1=0.
5. En déduire l’expression exacte de cos(2π
5).
Exercice 13
Résoudre dans Cles équations suivantes :
z3= 2 −2i,z+ 1
z−12
+z+ 1
z−1+ 1 = 0 ,z4+ 2z2+ 4 = 0
Exercice 14
Déterminer sous forme exponentielle les racines 8emes de z=1+i
√3−i.
Exercice 15
Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que :
1. 
z−3
z−5
= 1 2. 
z−3
z−5
=√2
2
Exercice 16
Soit nun entier pair. Calculer les sommes suivantes :
An:= C0
n−C2
n+C4 n+. . . +Cn n,
Bn:= C1
n−C3 n+C5 n+. . . +Cn−1 n.
Exercice 17
Soient n∈Net x∈R. Montrer l’égalité suivante :
sin x+ sin 2x+. . . + sin nx =sin (n+1)x
2sin nx 2
sin x
2
.
Exercice 18
Le but de cet exercice est déterminer, selon la valeur du réel m, le nombre de solutions de l’équation
suivante :
(Em):(m−1)x2−(m+ 2)x+ (6 −m)=0
1. Résoudre (E1).
2. Calculer ∆m, discriminant de (Em)et étudier son signe.
3. Déterminer le nombre de solutions de (Em)selon les valeurs de m.
4. Lorsque (Em)admet une solution double, donner la valeur de cette solution.
2