MAT1702B Hiver 2017 Tanya Schmah Exercises sur les Nombres Complexes 1. Est-ce que −2/3 est un nombre complexe? 2. Soit z = 4 − 2i, w = −2 + 3i Calculez: (a) z̄, w̄ (b) |z|, |w| (c) 1/z, 1/w (d) z + w (e) zw (f) z/w (g) w/z 1 − 2i sous forme a + bi (forme Cartésienne). −3 + 5i π π . Calculez z 2 et 1/z. 4. (Forme polaire) Soit z = 2 cos + i sin 4 4 Montrez tous ces nombres sur un diagramme du plan complexe. π π 5. Si w = 5 cos + i sin et z = 3 cos π3 + i sin π3 , calculez wz et w/z. 4 4 3. Écrivez 6. Si z = r (cos θ + i sin θ) et k est un entier positif, démontrez que z k = rk (cos kθ + i sin kθ) . Ceci est appellé la Formule de De Moivre. 7. Démontrez que pour tout w, z ∈ C, (a) z = z̄ si et seulement si z est réel. (b) w + z = w̄ + z̄ (c) wz = w̄z̄ (d) |wz| = |w||z| (e) |w + z| ≤ |w| + |z| (Inégalité triangulaire) 8. Trouvez toutes les racines de: (a) 2z 2 + 18 (b) z 2 + 3 z 2 − 3 (c) z 2 − 2z + 2 (d) z 4 − 2z 3 + 2z 2