2/3 est un nombre complexe?

MAT1702B Hiver 2017
Tanya Schmah
Exercises sur les Nombres Complexes
1. Est-ce que −2/3 est un nombre complexe?
2. Soit z= 4 −2i, w =−2+3iCalculez:
(a) ¯z, ¯w
(b) |z|,|w|
(c) 1/z, 1/w
(d) z+w
(e) zw
(f) z/w
(g) w/z
3. ´ Ecrivez 1−2i
−3+5isous forme a+bi (forme Cart´esienne).
4. (Forme polaire) Soit z= 2 cos π
4+isin π 4. Calculez z2et 1/z.
Montrez tous ces nombres sur un diagramme du plan complexe.
5. Si w= 5 cos π
4+isin π 4et z= 3 cos π
3+isin π 3,calculez wz et w/z.
6. Si z=r(cos θ+isin θ) et kest un entier positif, d´emontrez que
zk=rk(cos kθ +isin kθ).
Ceci est appell´e la Formule de De Moivre.
7. D´emontrez que pour tout w, z ∈C,
(a) z= ¯zsi et seulement si zest r´eel.
(b) w+z= ¯w+ ¯z
(c) wz = ¯w¯z
(d) |wz|=|w||z|
(e) |w+z| ≤ |w|+|z|(In´egalit´e triangulaire)
8. Trouvez toutes les racines de:
(a) 2z2+ 18
(b) z2+ 3z2−3
(c) z2−2z+ 2
(d) z4−2z3+ 2z2