Module et conjugué d`un nombre complexe 1 z Forme

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Module et conjugué d'un nombre complexe
On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,
le réel positif |z| =
|z| = 0 ⇔ z = 0
a2 + b 2 .
;
|zz'| = |z|.|z'|
;
|- z| = |z|
;
1 = 1
z
|z|
;
|z + z'| £ |z| + |z'|
z = |z|
z'
|z'|
On appelle conjugué dunombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,
le nombre complexe z = a - bi .



1= z
•
z =z
;
| z | = |z|
;
Si z # 0
z |z|2


• z. z = |z|2 (donc z. z est un réel positif)
•


z + z' = z + z'
• Si z' # 0
1 = 1
z'
z'


z - z' = z - z' ;
;

zz' = z . z'

;

z = z
z'
z'

• Re(z) = z + z ; Im(z) = z - z
2
2i

• z est réel ⇔ z = z
;

z est imaginaire pur ⇔ z = - z
Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z|
→
Si V a pour affixe z , alors
→
|| V || = |z|.
Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul z peut être
écrit sous la forme :
*
z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+
C'est la forme trigonométrique de z.
r est le module de z, r = |z|
θ est un argument de z.
Si z = r(cos θ + i sin θ) alors

• z = r(cos(-θ) + i sin(-θ))
M
r = |z|
sin θ
θ
O
1
cos θ
et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π))
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TS - Fiche de cours : Nombres complexes
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