Cinématique

Mécanique NYA Notes de cours
Thème : Cinématique
Introduction
La cinématique étudie le mouvement pour lui-même sans considérer les causes
qui peuvent le produire. En effet lorsqu’on relie le mouvement aux forces et aux
propriétés des objets, nous nous référons alors à la dynamique que nous
étudierons à la suite de la cinématique. La cinématique tout comme la
dynamique se divisent en deux parties à savoir celle qui concerne les particules
et celle qui étudie la rotation des corps rigides.
Pour étudier le mouvement, il faut pouvoir positionner des points et c’est
pourquoi nous allons commencer par l’étude des systèmes de coordonnées.
A – Les systèmes de coordonnées et le vecteur position.
Les coordonnées cartésiennes et polaires.
Pour passer d’un système à un autre, nous utilisons généralement les relations
suivantes :
De polaires à cartésiennes
)sin()cos( ryrx 
De cartésiennes à polaires
x
y
yxr  )tan(
22
x
x
y
r
x
y
x
P
x
O
x
Sens
positif

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Exemple
Un point P du plan a les coordonnées suivantes : x = -3 m et y = +2 m. Trouvez
ses coordonnées polaires.
mmr 61,323 22 
3,146ou7,33
3
2
tan
La relation mathématique précédente fournit deux angles possibles. Cependant
le point P considéré est placé dans le 2ième quadrant, l’angle recherché est donc le
second.
Les coordonnées polaires du point P sont alors :
r = 3,61 m et  = 146,3°.
Le système orthogonal direct
En 3 dimensions, il faut aussi considérer l’axe des z perpendiculaire aux axes x
et y mais dont le sens est déterminé par l’application de la règle de la main
droite. Le système ainsi obtenu est dit orthogonal direct et c’est celui le plus
utilisé.
x
y
O
P
146,3°

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Le vecteur position.
On a pensé se servir d’un vecteur pour positionner tout point dans l’espace. Ceci
conviendra particulièrement à l’étude de la cinématique où les quantités
fondamentales sont de nature vectorielle.
Les vecteurs
Les vecteurs sont des entités qui ont une orientation dans l’espace. De
nombreuses quantités physiques sont de nature vectorielle.
Un vecteur a une grandeur, une direction et un sens. Sa représentation
s’effectue à l’aide d’une flèche.
Les symboles utilisés sont les suivants :
x
z
y
O
Vers
l’avant
Direction
Sens
A

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-
A
… une lettre coiffée d’une flèche pour le vecteur lui-même ;
- A ou
A
pour sa grandeur ou son module.
Vecteurs unitaires.
Un vecteur unitaire a les propriétés
suivantes :
- Grandeur 1
- Orientation déterminée
- Sans unité physique
Certains vecteurs unitaires standards :
N.B. D’autres éléments sur les vecteurs vont être intégrés au fur et à mesure.
Le vecteur position s’exprime de la façon suivante :
En trois dimensions, nous avons :
kzjyixr 
B – Cinématique de la particule.
1 - Etude d’un mouvement simple : le mouvement à vitesse constante.
x
y
z
i
j
k
r
i
ix 
j
x
y
jy 
jyixr 

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Un mouvement à vitesse constante est un mouvement rectiligne uniforme. Nous
reverrons ce mouvement plus tard dans le contexte de la première loi de Newton
mais, pour l’instant, nous allons nous en servir pour nous faire la main avec les
notions vectorielles que nous venons de voir.
Pour un tel mouvement, nous avons :
tvrr O
Dans cette équation, la signification des symboles est la suivante :
r
: vecteur position
O
r
:  position initiale
v
: vitesse (en m/s)
t
: temps (N.B. Le temps est une
quantité physique
scalaire.)
N.B. A la figure précédente, nous avons montré les positions de la particule à
intervalles de temps égaux pour rendre la situation plus intuitive.
Exemple
La position initiale d’une particule est donnée par
mji  45 
et sa vitesse par
smji /32  
.
a) Déterminez son vecteur position à t = 3 s et la distance à laquelle elle se
trouve alors de l’origine.
x
y
O
Trajectoire de la
paricule
r
O
r
v
tv