M1.5. Mouvement en spirale. (I) 1. Composantes cartésiennes. On

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M1.5. Mouvement en spirale. (I)
1. Composantes cartésiennes.
On exprime les coordonnées cartésiennes du vecteur position :
cos
sin
x ae
OM y ae
Les dérivations successives de ce vecteur par rapport au temps donnent :
le vecteur vitesse
cos sin
cos sin
x
y
v a e
vv a e
le vecteur accélération
2
2
2 sin
2 cos
x
y
a a e
aa a e
2. Expression de la vitesse.
La norme de la vitesse a pour expression :
2 2
2 2 cos sin cos sin
2
x y
v v v a e
v a e
3. Abscisse curviligne s.
La norme de la vitesse peut s’écrire sous la forme :
ds ds d ds
v
dt d dt d
On a donc en tenant compte de la réponse à la question 2 et en simplifiant par la vitesse angulaire :
2
ds
a e
d
En tenant compte des conditions initiales, on obtient :
2 1
s a e
4. Vecteur accélération dans la base polaire.
Dans la base polaire, l’accélération s’écrit :
22
r
a r r e r e
car est une grandeur constante.
Or :
2
r r
r r
En remplaçant, on obtient :
2
2
a r e
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