Cinématique (Ex)

PCSI 2 Cinématique
2016 – 2017 1/2
CINEMATIQUE
X Système Bielle-Manivelle
La manivelle OB de longueur r est mobile autour d’un axe de rotation passant par O, normal au plan de figure (OBA). Le point B
décrit donc un cercle de rayon r = OB à la vitesse angulaire constante
€
ω =˙ θ
(θ angle de OB avec l’axe Ox).
La bielle BA de longueur L articulée en B et dont l’extrémité A décrit une trajectoire rectiligne suivant l’axe Ox, est repérée par ϕ
l’angle de BA avec Ox.
On comptera les angles positivement dans le sens trigonométrique. Attention sur la figure l’angle ϕ représenté est donc négatif. On
posera
€
λ =r
L
.
1) a) Déterminer la relation liant r, θ, ϕ et L.
b) Calculer l’élongation OA = x en fonction de L, λ et θ seulement.
2) a) λ est une caractéristique de ce système comprise entre les valeurs 0,2 et 0,33. Dans ces conditions il est possible de considérer
un développement limité que l’on peut mettre sous la forme :
x(t) = Ao + A1 cos (ωt) + A2 cos (2ωt)
Calculer Ao, A1, A2 en fonction de L et λ. On rappelle que
€
1+ ε ≈1+1
2
ε
pour ε << 1.
b) A partir de l’expression précédente calculer la vitesse et l’accélération de A.
c) Application numérique : r = 49 mm, L = 186 mm, ω = 3400 tr.min-1. Calculer la valeur numérique de l’accélération pour
θ = 0 et θ = π.
Réponse :
€
x=L λ cos θ +1− λ
2sin2
θ
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
; Ao =
€
L1−
λ
2
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
; A1 = λL ; A2 =
€
λ
2L
4
;
v = -λLωsin ωt -
€
1
2
λ2Lω sin 2ωt ; a = -λLω2 cos ωt – λ2Lω2 cos 2ωt.
X Soit une plage rectiligne.
Un point A1 sur le sable est à la distance A1H1 = a1 du bord.
Un point A2 en mer est à la distance A2H2 = a2 du bord.
On pose H1H2 = d.
Une personne peut courir sur le sable à la vitesse constante v1 et nager à la
vitesse constante v2.
Elle désire rejoindre depuis le point A1, le plus rapidement possible, une
bouée immobile en A2. On cherche à déterminer le trajet A1A2 qu’elle doit
emprunter pour cela.
1) Déterminer le temps t de parcours en fonction de a1, a2, v1, v2, d et x =
H1O.
2) En déduire l’équation en x permettant de minimiser t.
3) La transformer pour faire apparaître une relation entre v1, v2, sin α1 et
sin α2 en introduisant les angles α1 = (A1H1, A1O) et α2 = (A2H2,
A2O). A quelle loi dans un autre domaine de la physique l'expression
obtenue vous fait-elle songer ? Interpréter.
Réponse:
€
t=a1
2+x2
v1
+
a2
2+d−x
( )
2
v2
;
€
1
v1
sin α
1=1
v2
sin α
2
.
X Dépassement
Une voiture A de longueur d = 4,0 m suit un camion de longueur D = 10 m à la vitesse constante v0 = 72 km.h-1 sur une route droite et
horizontale. La distance entre l’avant de la voiture et l’arrière du camion est alors L = 35 m. A un instant pris comme origine des dates,
le conducteur de la voiture décide de doubler la camion et impose à son véhicule une accélération constante a = 3,0 m.s-2.
On prendra comme origine du repère la position de l’avant de la voiture au début du dépassement.
O
B
A
θ
ϕ
x

PCSI 2 Cinématique
2016 – 2017 2/2
1) Etablir l’équation horaire xAV(t) du mouvement de l’avant de la voiture ainsi que celle XAV(t) du mouvement de l’avant du
camion.
2) On considère que le dépassement est terminé quand l’arrière de la voiture est H = 20 m devant l’avant du camion, calculer la
durée du dépassement ainsi que la distance parcourue par le camion pendant ce temps.
Réponse : 6,8 s ; 1,4.102 m.
X Course poursuite
Une voiture C roule à la vitesse constante vo = 90 km.h-1 sur
une route horizontale et droite. Un motard M, qui démarre à
t = 0 au moment où la voiture passe à sa hauteur (au point
A), accélère uniformément. Il atteint la vitesse vo = 90 km.h-
1 au bout de τ = 10 s.
1) Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la
voiture ?
2) Quelle sera alors la distance d parcourue ?
3) Quelle sera la vitesse v1 acquise par le motard ?
Réponse : T = 20 s ; d = 500 m ; v1 = 180 km.h-1.
X Test de stabilité d’une automobile
Lors d’un test de stabilité, une voiture repérée par le point G de coordonnées (x, y) dans le référentiel
€
R O,! e
x,!
e
y,!
e
z
( )
est astreinte à
suivre une trajectoire sinusoïdale horizontale de slalom entre des plots espacés d’une distance L de manière à conserver à tout moment
une vitesse
€
˙
x =vo
= 50 km.h-1.
Si l’on veut conserver à tout moment une accélération inférieure à 0,7g, à quelle distance minimum Lmin de L doit-on placer les plots ?
Réponse : 28,84 m.
X Une particule M se déplace sur une droite x'Ox, de vecteur unitaire
€
!
i
.
1) A partir de l'instant t = 0, où elle passe en O ( x = 0 ) avec une vitesse vo = 20 m.s-1, on soumet la particule à une accélération
négative, proportionnelle à la puissance n-ième de la vitesse à chaque instant :
€
!
a
= - k.vn
€
!
i
, où k et n sont des constantes positives.
On traitera les 2 questions suivantes pour le cas n = 1 puis n = 2.
a) Ecrire en fonction de vo et k les expressions de la vitesse v(t), de l'abscisse x(t) et de la vitesse v(x) au point d'abscisse x.
b) Si le module de l'accélération à l'instant t = 0 vaut 2 m.s-2, à quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 150 m
de l'origine O ?
2) La particule se déplace maintenant avec une accélération
€
!
a
= - k.x-n
€
!
i
.
A l'instant t = 0, elle est au repos à l'abscisse xo.
Déterminer la loi : v = v(x) dans les cas n = 1 puis n = 2.
Réponse : v = vo e-kt ; x =
€
v0
k
( 1 – e-kt ) ; v = vo – k x ; v =
€
v0
1+kvot
; x =
€
1
k
Ln ( 1 + k vo t) ; v = vo e-kx ;
v2 = 2 k Ln
€
x0
x
; v2 = 2 k (
€
1
x
-
€
1
x0
).
d = 3 m
Trajectoire
sinusoïdale
G (x, y)
plot
L
y
x
O
d = 3 m