Cinématique du point

I Espace, temps
A) Espace
1) Référentiel d’espace R.
- C’est un solide de référence, par rapport auquel on étudie le mouvement.
- Repère d’espace : c’est la donnée d’une origine O et de trois axes Ox,
Oy, Oz fixes dans le référentiel de référence.
2) Base de projection
Ce sont trois vecteurs linéairement indépendants sur lesquels on projette les
vecteurs.
Ces vecteurs ne sont pas forcément fixes par rapport au solide de référence.
B) Temps
1) Référentiel de temps
On prend une horloge
2) Repère de temps
C’est la donnée d’une origine du temps et d’une base de temps.
3) Postulat de la mécanique classique
Le référentiel de temps est indépendant du référentiel d’espace.
C) Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
La dérivation vectorielle n’a de sens qu’en précisant le référentiel.
En général,
'RR dt
Ad
dt
Ad 
II Vitesse et accélération
A) Définition
On considère un référentiel R, un point O fixe dans R et M un mobile.
On pose alors
R
dt
OMd
v
,
R
dt
OMd
a 2
2
.
B) Composantes sur une base cartésienne fixe
zyx uzuyuxOM  ... 
zyx uzuyuxv 
... 
zyx uzuyuxa 
... 
Cinématique du point

C) Composantes sur la base cylindrique
zr uzurOM  .. 
zr uzururv 
... 
zr uzurrurra 
.).2().(2
D) Composantes sur la base de Frenet
1) Base de Frenet
Elle est utile lorsque le point se déplace sur une courbe d’équation
connue.
 Plan osculateur
M’ M’’
M
: plan passant par les trois points M, M’, M’’.
Lorsque
MMM '','
, tend vers un plan, appelé plan osculateur à la
courbe en M ; c’est le plan « le mieux » tangent à la courbe.
Cercle osculateur : c’est le cercle exinscrit au triangle
'''MMM
lorsque
MMM '','
.
Le rayon de ce cercle s’appelle le rayon de courbure.
 Vecteur unitaire tangent
T
:
O
M
OMd
ds
OMd
T
: sens positif, unitaire (s : abscisse curviligne)
 Vecteur unitaire normal
N
:
ds
Td
RN
, où R est un scalaire tel que
1N
.
N
est normal à
T
:
1
2T
, donc
02  TdT 
.
N
appartient au plan osculateur,
R
est le rayon de courbure.
On peut prendre deux conventions pour le sens de
N
:
- Soit
0R
: (dans la concavité de la courbe)
N
N
+
- Soit
0R
, et
N
reste toujours « du même côté de la courbe ».
 Vecteur unitaire binormal :
NTB  
2) Vitesse
dt
ds
ds
OMd
dt
OMd
v
, soit
Tvv 
; v : vitesse curviligne (algébrique)
3) Accélération
N
R
v
T
dt
dv
dt
ds
ds
Td
vT
dt
dv
dtTvd dt
vd
a
2
)( 

N
a
T
a
L’accélération tangentielle peut être soit dans le sens positif soit négatif,
mais l’accélération normale est toujours dirigée dans la concavité de la courbe.
III Mouvements à accélération centrale
A) Définition
On considère un point O fixe dans R.
Un mouvement à accélération centrale est un mouvement pour lequel
a
est
colinéaire à
OM
, c'est-à-dire pour lequel
0
 aOM
.
B) Nature du mouvement
1) Moment cinétique constant
Moment cinétique :
vmOMO )(
(c’est le moment du pointeur
),( vmM 
en O)
0
0
a
dt
vd
mOMvm
dt
OMd
dt
d
Donc
)(cte 0
2) Mouvement plan
On a
0
  vmOM
. Donc
OM
et
0
sont orthogonaux
0
O
3) Loi des aires
a
b
a
b
c
On a
sinabba 
aire du parallélogramme
Et
cba 
 )(
: volume du parallélépipède.
Ici :
OM
r
rdr  
rd
dS
On a ainsi
rdrSd 
 2
1
 On définit la vitesse aréolaire :
dt
rd
r
dt
Sd 
 2
1
 Ainsi,
cte
2
1 mdt Sd

 En coordonnées cylindriques :
On a
z
umrvmOM 
 .
2
, soit
cte
2
r
C) Mouvements sinusoïdaux composés
0
).cos(
).cos(
:
z
tAy
tAx
Myy
xx
OMMa 2 )(
On a donc une accélération centrale
1) Changement d’origine des temps
On pose
x
tt  .'.
Ainsi,
 '.)('.. ttt xyy
.
On a alors
).cos(
).cos(
:
tAy
tAx
My
x
2) Trajectoire
On a
sin.sincos.cos  tAtAy yy
Donc
2
2
2
2
2sincos
2
yxyx AAxy
A
y
A
x
, qui est l’équation d’une ellipse
Si
0
, l’équation devient
yx A
y
A
x
Pour ,
yx Ay
A
x
. Pour
2
3
,
2
,
1
2
2
2
2
yx A
y
A
x
.
Ay
-Ay
Ax -Ax
0
2 2
3
3) Mouvement
 Il se fait selon la loi des aires
 Sens de parcours :
-
zyx uAAmvmOM  .sin.
Si
0sin 
, ; si
0sin 
,
- x est maximal quand
]2[0. t
Alors
sin
y
Ay 
, donc
y
a le signe de
sin
.