Cinématique du point

Cinématique du point
I Espace, temps
A) Espace
1) Référentiel d’espace R.
-
C’est un solide de référence, par rapport auquel on étudie le mouvement.
Repère d’espace : c’est la donnée d’une origine O et de trois axes Ox,
Oy, Oz fixes dans le référentiel de référence.
2) Base de projection
Ce sont trois vecteurs linéairement indépendants sur lesquels on projette les
vecteurs.
Ces vecteurs ne sont pas forcément fixes par rapport au solide de référence.
B) Temps
1) Référentiel de temps
On prend une horloge
2) Repère de temps
C’est la donnée d’une origine du temps et d’une base de temps.
3) Postulat de la mécanique classique
Le référentiel de temps est indépendant du référentiel d’espace.
C) Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
La dérivation vectorielle n’a de sens qu’en précisant le référentiel.


 dA 
 dA 
En général,     
 dt  R  dt  R '
II Vitesse et accélération
A) Définition
On considère un référentiel R, un point O fixe dans R et M un mobile.
  d OM    d 2 OM 
On pose alors v 
, a
.
 dt 
 dt 2 

R

R
B) Composantes sur une base cartésienne fixe



OM  x.u x  y.u y  z.u z




v  x.u x  y.u y  z.u z




a  x.u x  y.u y  z.u z
C) Composantes sur la base cylindrique


OM  r.ur  z.uz




v  r.ur  r.u  z.u z




a  (r  r 2 ).ur  (2r  r).u  z.u z
D) Composantes sur la base de Frenet
1) Base de Frenet
Elle est utile lorsque le point se déplace sur une courbe  d’équation
connue.
 Plan osculateur
M
M’
M’’

 : plan passant par les trois points M, M’, M’’.
Lorsque M ' , M ' '  M ,  tend vers un plan, appelé plan osculateur à la
courbe en M ; c’est le plan « le mieux » tangent à la courbe.
Cercle osculateur : c’est le cercle exinscrit au triangle MM ' M ' ' lorsque
M ', M '' M .
Le rayon de ce cercle s’appelle le rayon de courbure.

 Vecteur unitaire tangent T :
d OM
M
O
 d OM
: sens positif, unitaire (s : abscisse curviligne)
T
ds

 Vecteur unitaire normal N :



dT
, où R est un scalaire tel que N  1 .
NR
ds

 
 
N est normal à T : T 2  1 , donc 2T  dT  0 .

N appartient au plan osculateur, R est le rayon de courbure.

On peut prendre deux conventions pour le sens de N :
- Soit R  0 : (dans la concavité de la courbe)

N


N +

Soit R 
 0 , et N reste toujours « du même côté de la courbe ».
  
Vecteur unitaire binormal : B  T  N
2) Vitesse


 d OM d OM ds
, soit v  vT ; v : vitesse curviligne (algébrique)
v

dt
ds dt
3) Accélération



 dv d (vT ) dv 
dT ds dv  v 2 
a

 T v
 T N
dt
dt
dt
ds dt dt
R

aT

aN
L’accélération tangentielle peut être soit dans le sens positif soit négatif,
mais l’accélération normale est toujours dirigée dans la concavité de la courbe.
III Mouvements à accélération centrale
A) Définition
On considère un point O fixe dans R.

Un mouvement à accélération centrale est un mouvement pour lequel a est


colinéaire à OM , c'est-à-dire pour lequel OM  a  0 .
B) Nature du mouvement
1) Moment cinétique constant


Moment cinétique :  (O)  OM  mv (c’est le moment du pointeur

( M , mv ) en O)



d d OM
dv

 mv  OM  m
dt dt
dt

 

a
0
 


0
Donc   cte (  0 )
2) Mouvement plan

 
On a OM  mv   0 . Donc OM et  0 sont orthogonaux

0
O
3) Loi des aires

a


b

c

a


b
 
On a a  b  ab sin   aire du parallélogramme
  
Et (a  b )  c : volume du parallélépipède.
Ici :
 

r  dr
dr
dS

O
M
r
 1

On a ainsi dS  r  dr
2




dS 1  dr
On définit la vitesse aréolaire :
 r
dt
2
dt


dS 1 
Ainsi,

 cte
dt 2 m
 En coordonnées cylindriques :



2
On a   OM  mv  mr 2.uz , soit r   cte
C) Mouvements sinusoïdaux composés
 x  Ax cos(.t   x )

M :  y  Ay cos(.t   y )
z  0


a(M )   2 OM
On a donc une accélération centrale
1) Changement d’origine des temps
On pose .t '  .t   x
Ainsi, .t   y  .t '( y   x )  .t ' .
 x  Ax cos(.t )
On a alors M : 
 y  Ay cos(.t   )
2) Trajectoire
On a y  Ay cos .t  cos   Ay sin .t  sin 
x 2 y 2 2 xy
cos   sin 2  , qui est l’équation d’une ellipse
Donc 2  2 
Ax Ay Ax Ay
Si   0 , l’équation devient
x
y

Ax Ay
x y
 3 x 2 y 2

1.
Pour    ,
. Pour   ,
,

2 2 Ax2 Ay2
Ax Ay
Ay   0
-Ax
Ax
-Ay

2

3) Mouvement


-
Il se fait selon la loi des aires
Sens de parcours :



  OM  mv  m. Ax Ay sin .u z
Si sin   0 ,
; si sin   0 ,
- x est maximal quand .t  0 [2 ]
Alors y  Ay sin  , donc y a le signe de  sin  .
3
2