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Le vecteur vitesse – Le vecteur accélération PHR 004
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Exercice n°2. Mouvement d'un point matériel sur une courbe hélicoïdale.
On considère un cylindre circulaire droit de rayon r et de hauteur 2 π r, auquel est lié un repère
orthonormé direct Oxyz : Oz est l'axe vertical du cylindre et Oxy est la base inférieure
horizontale. La face latérale porte un tube mince de forme hélicoïdale HB dans lequel se
déplace un petit objet M de masse m assimilable à un point matériel. La définition
paramétrique de la trajectoire de M est:
x = r cos θ
y = r sin θ
z = r (2 π - θ ) avec 0 < θ < 2 π .
Le point H correspond à θ = 0 et le point B à θ = 2 π .
1. Calculer, en fonction de θ (t) et de ses dérivées, l'accélération de M en coordonnées
cartésiennes.
2. Calculer, en fonction de θ (t) et de ses dérivées, l'accélération de M en coordonnées
cylindriques.
Solution
1) Le vecteur position s’écrit : OM x i y j z k=+ +
JJJJG
G
GG
Les vecteurs de base sont constants au cours du temps, leur dérivée par rapport au temps est
nulle.
Le mouvement étant hélicoïdal, r ne varie pas au cours du temps, par conséquent 0r=
(
)
()
2
2
-sin cos
-sin
cos
sin cos cos sin
(2 - ) - -
⎧=+
⎧=
=
⎧⎪
⎪
⎪⎪
=⇒=⇒=−
⎨⎨ ⎨
⎪⎪ ⎪
==
⎩=
⎩⎪
⎩
xr
xr
xr
yr yr yr
zr zr zr
θθθ θ
θθ
θ
θθθθθθθ
πθ θθ
2) Le vecteur position s’écrit :
(
)
2
rzr z
OM ru zu ru r u
=
+=+π−θ
JJJJG
G
GG G
avec 22
rxy=+
Les vecteurs de base
()
r
u,u
θ
J
JGJJG ne sont pas constants au cours du temps. Le vecteur z
u
G et r sont
constants en fonction du temps.
()
2
2
θ
θ
= + π−θ
=θ −θ
=θ − θ −θ
JJJJGGG
JG GG
GG G G
rz
z
rz
OM ru r u
Vruru
aru r u ru