Devoir non surveillé Algèbre linéaire

Devoir non surveillé Algèbre linéaire
Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche
pour le 6 avril
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BY:
Exercice 1 Étude d’un projecteur (Oral Agro-Véto)
Soit v = (v1 , v2 , v3 ) un vecteur de R3 , tel que v1 + v2 + v3 = 1. Soit l’application f définie sur R3
par f (x) = x − (x1 + x2 + x3 )v pour tout x = (x1 , x2 , x3 ) de R3 .
1.5
3
1. Montrer que f est un endomorphisme de R .
1.5
2. Montrer que l’application f vérifie f ◦ f = f .
2
3. Déterminer Im(f ).
2
4. Déterminer Ker(f ).
Commentaire : un peu de théorie des projecteurs et pas de calcul. On n’a pas accès aux
coordonnées donc on ne peut pas faire de calcul de rang par la matrice.
Pour ceux qui ont fait des calculs matriciel, le jury d’oral demande alors de refaire les calculs
Correction :
1. On considère x et y deux vecteurs de R3 , et λ ∈ R. On a alors
f (x + λy) =x + λy − ((x1 + λy1 ) + (x2 + λy2 ) + (x3 + λy3 ))v
=x − (x1 + x2 + x3 )v + λ (y − (y1 + y2 + y3 )v)
=f (x) + λf (y).
Ainsi, l’application f est linéaire. On a de plus pour x ∈ R3 :
v
f (x) = |{z}
x − (x1 + x2 + x3 ) |{z}
|
R3
{z
R3
}
R3
Ainsi f : R3 → R3 , et f est donc un endomorphisme de R3 .
2. Soit x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , on a :
f ◦ f (x) =f x − (x1 + x2 + x3 )v
=f (x) − (x1 + x2 + x3 )f (v).
Or
f (v) =v − (v1 + v2 + v3 )v = 0
car v1 + v2 + v3 = 0. On constate donc : ∀x ∈ R3 , f ◦ f (x) = f (x), et donc f ◦ f = f .
3. Soit y = (y1 , y2, y3 ) ∈ Im(f ), on a alors : ∃x ∈ R3 , tel que y = f (x), on en déduit alors que
f (y) = f ◦ f (x) = f (x) = y. De la relation f (y) = y, on en déduit :
y = y − (y1 + y2 + y3 )v et donc y1 + y2 + y3 = 0 puisque v 6= 0.
Ainsi, si y = (y1 , y2 , y3) ∈ Im(f ), on a y1 + y2 + y3 = 0.
Réciproquement, considérons un élément y ∈ R3 , qui vérifie la relation : y1 + y2 + y3 = 0. On
a alors : f (y) = y, et donc y ∈ Im(f ).
1
En conclusion, on a donc :
Im(f ) =
(y1 , y2 , y3 )y1
+ y2 + y3 = 0 .
NB : éventuellement on peut préciser qu’une base de Im(f ) est donc (1, 0, −1), (0, 1, −1)
en particulier Rg(f ) = 2.
On peut retrouver ce résultat en utilisant la matrice associée à f dans la base canonique. Cette
matrice dépends de (v1 , v2 , v3 ). Les calculs sont alors assez longs et il faut bien considérer tous
les cas.
4. comme on l’a vu, on a :
f (v) = v − (v1 + v2 + v3 )v = 0.
Ainsi, v ∈ Ker(f ) et donc Vect(v) ⊂ Ker(f ).
Comme Rg(f ) = 2, on a d’après le théorème du rang : dim Ker(f ) = 1, et donc Vect(v) =
Ker(f ).
On peut aussi vérifier à la main que : si x ∈ Ker(f ), on a alors : f (x) = 0, et donc x =
(x1 + x2 + x3 )v ∈ Vect(v).
2