Devoir libre n 14

MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2015-2016
Devoir libre n◦14
A rendre pour le lundi 28/03
Exercice 1
Soit Kun corps de caractéristique nulle et soient x0,...,xn∈Kdeux à deux distincts.
1. Soit (λ0, ..., λn)∈Kntels que pour tout k∈J0, nK:
n
X
i=0
λixk
i= 0.
Montrer que λ0=... =λn= 0. On pourra commencer par montrer que pour tout P∈Kn[X]:
n
X
i=0
λiP(xi) = 0
puis appliquer cette égalité à des polynômes judicieusement choisis.
2. ((X−xi)n)0≤i≤nest une famille libre de K[X].
Exercice 2
Posons :
Φ : R[X]→R[X]
P7→ P(X+ 1) + P(X−1) −2P(X)
1. Montrer que Φest linéaire et non injective.
2. Déterminer le degré de Φ(P)lorsque P∈R[X]vérifie deg(P)≥2. En déduire le noyau de Φ.
3. Montrer que Φest surjective. On montrera que pour tout n∈N,Xn∈Im(Φ).
Exercice 3
Soit Eun K-espace vectoriel, soient p, q ∈ L(E)deux projecteurs tels que Im(p)⊂Ker(q). Posons
r=p+q−p◦q.
1. Montrer que rest un projecteur de E.
2. Montrer que Ker(r) = Ker(p)∩Ker(q).
3. Montrer que Im(r) = Im(p) + Im(q).

MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2015-2016
Problème : Coeur et nilespace d’un endomorphisme
Soit Eun K-espace vectoriel et u∈ L(E). Si Vest un sous-espace vectoriel de Estable par u, on note
uV∈ L(V)l’endomorphisme induit par usur V.
Pour n∈N, on note Gn= Im(un)et Fn= Ker(un)et on pose
F=[
n∈N
Fn,et G=\
n∈N
Gn.
Fest appelé nilespace de l’endomorphisme u, et Gcoeur de u.
1. Montrer que les suites de sous-espaces (Fn)n∈Net (Gn)n∈Nsont respectivement croissante et décroissante
pour l’inclusion.
2. a. Montrer que Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E.
b. Montrer que Fet Gsont stables par u.
c. Déterminer Fet Glorsque u∈GL(E).
3. On suppose dans cette question qu’il existe n∈Ntel que Gn+1 =Gn.
a. Justifier qu’il existe un plus petit entier n∈Ntel que Gn+1 =Gn. On note cet entier r(u).
b. Montrer que pour tout p∈N,Gr(u)+p=Gr(u). En déduire G.
c. Montrer que E=G+Fr(u).
4. On suppose dans cette question qu’il existe n∈Ntel que Fn+1 =Fn. On note s(u)le plus petit entier
vérifiant cette propriété.
a. Montrer que pour tout p∈N,Fs(u)+p=Fs(u). En déduire F.
b. Montrer que Gs(u)∩F={0}.
5. a. On suppose qu’il existe n∈Ntel que Gn=Gn+1 et Fn+1 =Fn+2. Montrer que Fn=Fn+1.
b. On suppose qu’il existe n∈Ntel que Fn=Fn+1 et Gn+1 =Gn+2. Montrer que Gn=Gn+1.
6. On dit que uest de caractère fini lorsqu’il existe r, s ∈Ntels que Gr=Gr+1 et Fs=Fs+1. On suppose
dans cette question que uest de caractère fini.
a. Montrer que r(u) = s(u). Cet entier est appelé caractère de u.
b. Vérifier que Fet Gsont supplémentaires dans E.
c. Montrer que uGest bijective et uFest nilpotente.
7. Montrer que uest de caractère fini si et seulement s’il existe deux sous-espaces Vet Wde Estables par
utels que
E=V⊕W, uV∈GL(V), uWest nilpotent.
8. On suppose dans cette question que K=Ret E=R[X]. Trouver un exemple de u∈ L(E)tel que
F=G=Eet un exemple tel que F=G={0}.