Devoir libre n 14

MPSI A Lycée Hoche
Année scolaire 2015-2016
Devoir libre n◦14
A rendre pour le lundi 28/03
Exercice 1
Soit K un corps de caractéristique nulle et soient x0 , . . . , xn ∈ K deux à deux distincts.
1. Soit (λ0 , ..., λn ) ∈ Kn tels que pour tout k ∈ J0, nK :
n
X
λi xki = 0.
i=0
Montrer que λ0 = ... = λn = 0. On pourra commencer par montrer que pour tout P ∈ Kn [X] :
n
X
λi P (xi ) = 0
i=0
puis appliquer cette égalité à des polynômes judicieusement choisis.
2. ((X − xi )n )0≤i≤n est une famille libre de K[X].
Exercice 2
Posons :
Φ:
R[X] → R[X]
P 7→ P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X)
1. Montrer que Φ est linéaire et non injective.
2. Déterminer le degré de Φ(P ) lorsque P ∈ R[X] vérifie deg(P ) ≥ 2. En déduire le noyau de Φ.
3. Montrer que Φ est surjective. On montrera que pour tout n ∈ N, X n ∈ Im(Φ).
Exercice 3
Soit E un K-espace vectoriel, soient p, q ∈ L(E) deux projecteurs tels que Im(p) ⊂ Ker(q). Posons
r = p + q − p ◦ q.
1. Montrer que r est un projecteur de E.
2. Montrer que Ker(r) = Ker(p) ∩ Ker(q).
3. Montrer que Im(r) = Im(p) + Im(q).
MPSI A Lycée Hoche
Année scolaire 2015-2016
Problème : Coeur et nilespace d’un endomorphisme
Soit E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). Si V est un sous-espace vectoriel de E stable par u, on note
uV ∈ L(V ) l’endomorphisme induit par u sur V .
Pour n ∈ N, on note Gn = Im(un ) et Fn = Ker(un ) et on pose
[
\
F =
Fn , et G =
Gn .
n∈N
n∈N
F est appelé nilespace de l’endomorphisme u, et G coeur de u.
1. Montrer que les suites de sous-espaces (Fn )n∈N et (Gn )n∈N sont respectivement croissante et décroissante
pour l’inclusion.
2.
a. Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E.
b. Montrer que F et G sont stables par u.
c. Déterminer F et G lorsque u ∈ GL(E).
3. On suppose dans cette question qu’il existe n ∈ N tel que Gn+1 = Gn .
a. Justifier qu’il existe un plus petit entier n ∈ N tel que Gn+1 = Gn . On note cet entier r(u).
b. Montrer que pour tout p ∈ N, Gr(u)+p = Gr(u) . En déduire G.
c. Montrer que E = G + Fr(u) .
4. On suppose dans cette question qu’il existe n ∈ N tel que Fn+1 = Fn . On note s(u) le plus petit entier
vérifiant cette propriété.
a. Montrer que pour tout p ∈ N, Fs(u)+p = Fs(u) . En déduire F .
b. Montrer que Gs(u) ∩ F = {0}.
5.
a. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que Gn = Gn+1 et Fn+1 = Fn+2 . Montrer que Fn = Fn+1 .
b. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que Fn = Fn+1 et Gn+1 = Gn+2 . Montrer que Gn = Gn+1 .
6. On dit que u est de caractère fini lorsqu’il existe r, s ∈ N tels que Gr = Gr+1 et Fs = Fs+1 . On suppose
dans cette question que u est de caractère fini.
a. Montrer que r(u) = s(u). Cet entier est appelé caractère de u.
b. Vérifier que F et G sont supplémentaires dans E.
c. Montrer que uG est bijective et uF est nilpotente.
7. Montrer que u est de caractère fini si et seulement s’il existe deux sous-espaces V et W de E stables par
u tels que
E = V ⊕ W, uV ∈ GL(V ), uW est nilpotent.
8. On suppose dans cette question que K = R et E = R[X]. Trouver un exemple de u ∈ L(E) tel que
F = G = E et un exemple tel que F = G = {0}.