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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
L’épreuve dure 3h. Les exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction.
Toute affirmation doit être justifiée sauf mention contraire.
Exercice 1.
Dans E = R3 , muni de sa base canonique B0 = (e1 , e2 , e3 ), on considère :
u1 = e2 + e3 , u2 = e2 − e3
u3 = e1 + e2 − 2e3 .
et
1) Justifier que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de E et déterminer sa base duale B ∗ .
2) On pose F = Vect(u1 , u2 ). Justifier que F est un hyperplan de R3 et déterminer l’une de
ses équations.
3) Déterminer un système d’équations de G = Vect(u3 ).
Exercice 2.
On considère le morphisme
ϕ√2 : Q[X] −→
P
7−→
R
√
P ( 2)
√
On note Q[ 2] l’image de ce morphisme.
1) Déterminer ker(ϕ√2 ).
√
2) Montrer que Q[ 2] est un corps.
[Aide : on pourra montrer que ker(ϕ√2 ) est maximal.]
√
√
3) Montrer que tout élément de Q[ 2] s’écrit de manière unique sous la forme a + b 2 avec (a, b) ∈ Q2 .
√
√
√
4) Montrer que l’application a + b 2 = a − b 2 de Q[ 2] dans lui-même est un morphisme d’anneau.
√
5) Soit A ∈ Q[X] et soit α ∈ Q[ 2] une racine de A. Déduire de la question précédente que α est aussi
une racine de A.
√
√
6) Déterminer (a, b) ∈ Q tels que a + b 2 soit l’inverse de 1 + 2.
Exercice 3.
Soit α ∈ R et Aα ∈ M3 (R) la matrice

−1
Aα =  1
−1
0
−2
1

α+1
0 
α
Première partie :
1) Factoriser le polynôme caractéristique PAα (X) en produit de facteurs du premier degré.
[Aide : Dans le calcul du déterminant de Aα − XI3 , on pourra commencer par ajouter la 2ième colonne à la première. ]
2) Déterminer selon la valeur du paramètre α les valeurs propres distinctes de Aα et leur multiplicité
algébrique.
3) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles la matrice Aα est diagonalisable.
4) Déterminer selon la valeur de α le polynôme minimal de Aα .
Seconde partie :
On suppose désormais que α = 0, on note A = A0 et f l’endomorphisme de R3 associé à la matrice A.
D’après la première partie, on sait que polynôme catactéristique de A est (X + 1)3 .
1) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2) Calculer A + I3 , (A + I3 )2 et (A + I3 )3 .
1


0
3) Déterminer ker(A + I3 )2 et montrer que e3 :=  0  ∈
/ ker(A + I3 )2 .
1
4) On pose
u3 = e3 ,
u2 = (A + I3 )u3
et
u1 = (A + I3 )u2 .
Montrer que (A + I3 )u1 = 0 puis déterminer la matrice B de f dans la base (u1 , u2 , u3 ).
5) Déterminer la décomposition de Dunford de B.
6) Calculer exp(tB).
Exercice 4.
Soit N ∈ Mn (C) une matrice nilpotente d’indice m ∈ N∗ . On rappelle que
m = min{k ∈ N | N k = 0}
1) Déterminer les valeurs propres de N , le polynôme caratéristique de N et son polynôme minimal.
2) On sait que toute matrice A ∈ Mn (C) est trigonalisable. Expliquer pourquoi ce résultat n’est plus
valable sur le corps R.
3) Soit A une matrice qui commute avec N . Montrer que
det(A + N ) = det(A).
[Aide : On pourra utiliser le fait que A et N sont trigonalisables dans une même base puisqu’elles commutent.]
Exercice 5.
Soit K un corps et soit A une matrice de Mn (K). On désigne par A1 , . . . , Ak les vecteurs colonnes de A.
On rappelle qu’une matrice A est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes forment une famille
libre.
1) Soit (e1 , . . . , ek ) une famille libre de vecteurs de E et soit v ∈ E. Montrer que la famillle (e1 , . . . , ek , v)
est libre si et seulement si v ∈
/ Vect(e1 , . . . , ek ).
2) En déduire que A est inversible si et seulement si A1 6= 0 et Ak ∈
/ Vect(A1 , . . . , Ak−1 ) pour tout
k ∈ {2, . . . , n}.
On travaille dorénavant dans le corps fini Fp où p est un nombre premier.
3) Combien y-a-t-il d’éléments dans F2p ?
4) Soit u un vecteur non-nul de F2p . Combien y-a-t-il de vecteurs dans Vect(u) ? Dans F2p \Vect(u) ?
5) Déterminer le nombre de matrices inversibles 2 × 2 à coefficients dans Fp .
6) En adaptant cette méthode, déterminer le nombre de matrices inversibles n×n à coefficients dans Fp .
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