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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
L’épreuve dure 3h. Les exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction.
Toute affirmation doit être justifiée sauf mention contraire.
Exercice 1.
Dans E=R3, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3), on considère :
u1=e2+e3, u2=e2−e3et u3=e1+e2−2e3.
1) Justifier que B= (u1, u2, u3)est une base de Eet déterminer sa base duale B∗.
2) On pose F=Vect(u1, u2). Justifier que Fest un hyperplan de R3et déterminer l’une de
ses équations.
3) Déterminer un système d’équations de G=Vect(u3).
Exercice 2.
On considère le morphisme
ϕ√2:Q[X]−→ R
P7−→ P(√2)
On note Q[√2] l’image de ce morphisme.
1) Déterminer ker(ϕ√2).
2) Montrer que Q[√2] est un corps.
[Aide : on pourra montrer que ker(ϕ√2)est maximal.]
3) Montrer que tout élément de Q[√2] s’écrit de manière unique sous la forme a+b√2avec (a, b)∈Q2.
4) Montrer que l’application a+b√2 = a−b√2de Q[√2] dans lui-même est un morphisme d’anneau.
5) Soit A∈Q[X]et soit α∈Q[√2] une racine de A. Déduire de la question précédente que αest aussi
une racine de A.
6) Déterminer (a, b)∈Qtels que a+b√2soit l’inverse de 1 + √2.
Exercice 3.
Soit α∈Ret Aα∈ M3(R)la matrice
Aα=
−1 0 α+ 1
1−2 0
−1 1 α
Première partie :
1) Factoriser le polynôme caractéristique PAα(X)en produit de facteurs du premier degré.
[Aide : Dans le calcul du déterminant de Aα −XI3, on pourra commencer par ajouter la 2ième colonne à la première. ]
2) Déterminer selon la valeur du paramètre αles valeurs propres distinctes de Aαet leur multiplicité
algébrique.
3) Déterminer les valeurs de αpour lesquelles la matrice Aαest diagonalisable.
4) Déterminer selon la valeur de αle polynôme minimal de Aα.
Seconde partie :
On suppose désormais que α= 0, on note A=A0et fl’endomorphisme de R3associé à la matrice A.
D’après la première partie, on sait que polynôme catactéristique de Aest (X+ 1)3.
1) Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A.
2) Calculer A+I3,(A+I3)2et (A+I3)3.
1

3) Déterminer ker(A+I3)2et montrer que e3:= 
0
0
1
/∈ker(A+I3)2.
4) On pose
u3=e3, u2= (A+I3)u3et u1= (A+I3)u2.
Montrer que (A+I3)u1=0puis déterminer la matrice Bde fdans la base (u1, u2, u3).
5) Déterminer la décomposition de Dunford de B.
6) Calculer exp(tB).
Exercice 4.
Soit N∈ Mn(C)une matrice nilpotente d’indice m∈N∗. On rappelle que
m= min{k∈N|Nk=0}
1) Déterminer les valeurs propres de N, le polynôme caratéristique de Net son polynôme minimal.
2) On sait que toute matrice A∈ Mn(C)est trigonalisable. Expliquer pourquoi ce résultat n’est plus
valable sur le corps R.
3) Soit Aune matrice qui commute avec N. Montrer que
det(A+N) = det(A).
[Aide : On pourra utiliser le fait que Aet Nsont trigonalisables dans une même base puisqu’elles commutent.]
Exercice 5.
Soit Kun corps et soit Aune matrice de Mn(K). On désigne par A1, . . . , Akles vecteurs colonnes de A.
On rappelle qu’une matrice Aest inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes forment une famille
libre.
1) Soit (e1, . . . , ek)une famille libre de vecteurs de Eet soit v∈E. Montrer que la famillle (e1, . . . , ek, v)
est libre si et seulement si v /∈Vect(e1, . . . , ek).
2) En déduire que Aest inversible si et seulement si A16= 0 et Ak/∈Vect(A1, . . . , Ak−1)pour tout
k∈ {2, . . . , n}.
On travaille dorénavant dans le corps fini Fpoù pest un nombre premier.
3) Combien y-a-t-il d’éléments dans F2
p?
4) Soit uun vecteur non-nul de F2
p. Combien y-a-t-il de vecteurs dans Vect(u)? Dans F2 p\Vect(u)?
5) Déterminer le nombre de matrices inversibles 2×2à coefficients dans Fp.
6) En adaptant cette méthode, déterminer le nombre de matrices inversibles n×nà coefficients dans Fp.
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