Td3

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 3
L3, Algèbre
Semestre 6
Matrices et applications linéaires
Exercice 1 On rappelle que toute matrice de rang r ≥ 0 est équivalente à une matrice de la forme :
Ir 0
0 0
Montrer que GLn (K) = Mn (K).
Exercice 2 L’objectif de cet exercice est de déterminer les matrices A ∈ Mn (K) telles que A2 = 0n . Soit
A une telle matrice et soit f l’endomorphisme de Rn ayant pour matrice A dans la base canonique. On
désigne par r le rang de A.
1) Traiter le cas r = 0. On suppose dorénavant que r > 0.
2) Montrer que Im(f ) ⊂ ker(f ).
3) Justifier l’existence d’une base e1 , . . . , er , . . . en−r de ker(f ) telle que ei ∈ Im(f ) pour tout 1 ≤ i ≤ r.
4) Soit (u1 , . . . , ur ) une famille de vecteurs telle que f (ui ) = ei . Montrer que (u1 , . . . , ur , e1 , . . . , en−r )
est une base de Kn .
5) Conclure.
Exercice 3 Le groupe GLn (K) des matrices inversibles agit de manière naturelle sur Kn . Déterminer les
orbites de cette action.
Symétries et projections
Exercice 4 Soit H l’hyperplan de E = R3 définit par l’équation x + y + z = 0. On désigne par Bc la
base canonique de E.
1) Déterminer une base (u1 , u2 ) de H.
2) Soit u3 = t (1, 1, 2) ∈ E. Montrer que B := (u1 , u2 , u3 ) est une base de E.
3) Soit s1 (resp. p1 ) la symétrie (resp. projection) par rapport à H parallèlement à D = Vect(u3 ).
Déterminer MatB (s1 ), MatB (p1 ), MatBc (s1 ) et MatBc (p1 ).
4) Même question avec la symétrie et la projection parallèlement à H par rapport à D.
Exercice 5 Reconnaître et caractériser l’endomorphismes fi de R3 dont la matrice dans la base canonique
de E est :




1/2 −1/2 −1
−3 −2 4
3/2
1 .
A1 =  0 −1 0 , A2 =  1/2
−2 −2 3
−1/2 −1/2 0
Dualité
Exercice 6 Soit E est un K-espace vectoriel. Discuter les propositions suivantes. On fournira un contreexemple ou une preuve.
1) Soit x ∈ E, comme le noyau d’une forme linéaire est de dimension dim(E) − 1, il existe une unique
forme linéaire l ∈ E ∗ telle que l(x) = 1.
2) Soit (e1 , e2 , e3 ) et (f1 , f2 , f3 ) deux bases d’un même espace vectoriel, telles que e1 = f1 et e2 = f2
alors on a e∗1 = f1∗ et e∗2 = f2∗ .
Exercice 7 Dans E = R3 , muni de sa base canonique B0 = (e1 , e2 , e3 ), on considère :
u1 = e2 + e3 , u2 = e2 − e3 et u3 = e1 + e2 − 2e3 .
1) Justifier que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de E et déterminer sa base duale B ∗ . En déduire la
matrice de passage B0 PB .
2) Déterminer un système d’équations de G = Vect(u3 ).
1
Exercice 8 Dans E = R3 , muni de sa base canonique B0 = (e1 , e2 , e3 ), on considère
u1 = 2e2 + e3 , u2 = −e1 − e2 + e3 , u3 = e1 − 2e3 .
Déterminer un système d’équations de G = Vect(ui ) pour i = 1, 2, 3.
Exercice 9 Sur E = R3 [X], on considère les cinq formes linéaires φ1 , φ2 , φ3 , φ4 et ψ définies par :
φ1 (P ) = P (0),
0
φ2 (P ) = P (0),
φ3 (P ) = P (1),
0
Z
φ4 (P ) = P (1) et ψ(P ) =
1
P (t)dt.
0
1) Prouver que (φ1 , φ2 , φ3 , φ4 ) est une base de E ∗ et déterminer sa base préduale (H1 , H2 , H3 , H4 ).
2) Déterminer le quadruplet (a, b, c, d) de R4 tel que : ψ = aφ1 + bφ2 + cφ3 + dφ4 .
Exercice 10 Soit E un R e.v. de dimensions 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soit f1∗ , f2∗ , f3∗ ∈ E ∗ définis
par :
f1∗ = 2e∗1 + e∗2 + e∗3 f2∗ = −e∗1 + 2e∗3 f3∗ = e∗1 + 3e∗2 .
Montrer que (f1∗ , f2∗ , f3∗ ) est une base de E ∗ et déterminer la base (f1 , f2 , f3 ) de E dont elle est la duale.
Exercice 11 Soit E un R e.v. de dimensions 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soit f1∗ , f2∗ , f3∗ ∈ E ∗ définis
par :
f1∗ = e∗1 + e∗2 + e∗3 f2∗ = −e∗1 + e∗3 f3∗ = e∗1 + e∗2 .
Montrer que (f1∗ , f2∗ , f3∗ ) est une base de E ∗ et déterminer la base (f1 , f2 , f3 ) de E dont elle est la duale.
Exercice 12 Soit E un K-espace vectoriel.
1) Montrer que A⊥ et B ◦ pour tout A ⊂ E et B ⊂ E ∗ sont bien des s.e.v de E ∗ et E respectivement.
2) Prouver la Proposition 4.2 du cours.
Exercice 13 Soit E un K-espace vectoriel. Soient ϕ1 . . . , ϕr et ψ1 , . . . , ψp deux familles de formes linéaires
sur E telles que Vect(ϕ1 , . . . , ϕr ) = Vect(ψ1 , . . . , ψp ). Montrer que
r
\
ker(ϕi ) =
i=1
p
\
ker(ψi )
i=1
Exercice 14 Soit E un K-espace vectoriel et soient ϕ1 , . . . , ϕp ∈ E ∗ . On définit
ϕ: E
x
−→
7−→
Kp
(ϕ1 (x), . . . , ϕp (x)).
Montrer que ϕ est surjective si et seulement si la famille (ϕ1 , . . . , ϕp ) est libre.
Exercice 15 On se propose de prouver que pour toute forme linéaire ϕ sur Mn (K) existe une unique
matrice A de Mn (K) telle que : ∀X ∈ Mn (K), ϕ(X) = tr(AX).
1) Soit A ∈ Mn (K). Justifier que l’application ϕA de Mn (K) dans K définie par : ϕA (X) = tr(AX) est
une forme linéaire sur Mn (K).
2) On note φ l’application de Mn (K) dans son dual définie par : φ(A) = ϕA .
(a) Justifier la linéarité de φ.
(b) Montrer que ker(φ) = {0n }. [Indication : Calculer ϕA (Eij ) ]
(c) En déduire que φ est un isomorphisme, puis conclure (c’est-à-dire : décrire (Mn (K))∗ ).
Exercice 16 Soit u ∈ L (E, F ). Montrer que Im(t u) = ker u⊥ et ker(t u) = Im u⊥ .
2