Td3

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦3
L3, Algèbre Semestre 6
Matrices et applications linéaires
Exercice 1 On rappelle que toute matrice de rang r≥0est équivalente à une matrice de la forme :
Ir0
0 0 
Montrer que GLn(K) = Mn(K).
Exercice 2 L’objectif de cet exercice est de déterminer les matrices A∈Mn(K)telles que A2=0n. Soit
Aune telle matrice et soit fl’endomorphisme de Rnayant pour matrice Adans la base canonique. On
désigne par rle rang de A.
1) Traiter le cas r= 0. On suppose dorénavant que r > 0.
2) Montrer que Im(f)⊂ker(f).
3) Justifier l’existence d’une base e1, . . . , er,...en−rde ker(f)telle que ei∈Im(f)pour tout 1≤i≤r.
4) Soit (u1, . . . , ur)une famille de vecteurs telle que f(ui) = ei. Montrer que (u1, . . . , ur, e1, . . . , en−r)
est une base de Kn.
5) Conclure.
Exercice 3 Le groupe GLn(K)des matrices inversibles agit de manière naturelle sur Kn. Déterminer les
orbites de cette action.
Symétries et projections
Exercice 4 Soit Hl’hyperplan de E=R3définit par l’équation x+y+z= 0. On désigne par Bcla
base canonique de E.
1) Déterminer une base (u1, u2)de H.
2) Soit u3=t(1,1,2) ∈E. Montrer que B:= (u1, u2, u3)est une base de E.
3) Soit s1(resp. p1) la symétrie (resp. projection) par rapport à Hparallèlement à D= Vect(u3).
Déterminer MatB(s1),MatB(p1),MatBc(s1)et MatBc(p1).
4) Même question avec la symétrie et la projection parallèlement à Hpar rapport à D.
Exercice 5 Reconnaître et caractériser l’endomorphismes fide R3dont la matrice dans la base canonique
de Eest :
A1=
−3−2 4
0−1 0
−2−2 3
, A2=
1/2−1/2−1
1/2 3/2 1
−1/2−1/2 0
.
Dualité
Exercice 6 Soit Eest un K-espace vectoriel. Discuter les propositions suivantes. On fournira un contre-
exemple ou une preuve.
1) Soit x∈E, comme le noyau d’une forme linéaire est de dimension dim(E)−1, il existe une unique
forme linéaire l∈E∗telle que l(x)=1.
2) Soit (e1, e2, e3)et (f1, f2, f3)deux bases d’un même espace vectoriel, telles que e1=f1et e2=f2
alors on a e∗
1=f∗ 1et e∗ 2=f∗ 2.
Exercice 7 Dans E=R3, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3), on considère :
u1=e2+e3,u2=e2−e3et u3=e1+e2−2e3.
1) Justifier que B= (u1, u2, u3)est une base de Eet déterminer sa base duale B∗. En déduire la
matrice de passage B0PB.
2) Déterminer un système d’équations de G= Vect(u3).
1

Exercice 8 Dans E=R3, muni de sa base canonique B0= (e1, e2, e3), on considère
u1= 2e2+e3, u2=−e1−e2+e3, u3=e1−2e3.
Déterminer un système d’équations de G= Vect(ui)pour i= 1,2,3.
Exercice 9 Sur E=R3[X], on considère les cinq formes linéaires φ1,φ2,φ3,φ4et ψdéfinies par :
φ1(P) = P(0), φ2(P) = P0(0), φ3(P) = P(1), φ4(P) = P0(1) et ψ(P) = Z1
0
P(t)dt.
1) Prouver que (φ1, φ2, φ3, φ4)est une base de E∗et déterminer sa base préduale (H1, H2, H3, H4).
2) Déterminer le quadruplet (a, b, c, d)de R4tel que : ψ=aφ1+bφ2+cφ3+dφ4.
Exercice 10 Soit Eun Re.v. de dimensions 3, (e1, e2, e3)une base de E. Soit f∗
1, f∗ 2, f∗ 3∈E∗définis
par :
f∗
1= 2e∗ 1+e∗ 2+e∗ 3f∗ 2=−e∗ 1+ 2e∗ 3f∗ 3=e∗ 1+ 3e∗ 2.
Montrer que (f∗
1, f∗ 2, f∗ 3)est une base de E∗et déterminer la base (f1, f2, f3)de Edont elle est la duale.
Exercice 11 Soit Eun Re.v. de dimensions 3, (e1, e2, e3)une base de E. Soit f∗
1, f∗ 2, f∗ 3∈E∗définis
par :
f∗
1=e∗ 1+e∗ 2+e∗ 3f∗ 2=−e∗ 1+e∗ 3f∗ 3=e∗ 1+e∗ 2.
Montrer que (f∗
1, f∗ 2, f∗ 3)est une base de E∗et déterminer la base (f1, f2, f3)de Edont elle est la duale.
Exercice 12 Soit Eun K-espace vectoriel.
1) Montrer que A⊥et B◦pour tout A⊂Eet B⊂E∗sont bien des s.e.v de E∗et Erespectivement.
2) Prouver la Proposition 4.2 du cours.
Exercice 13 Soit Eun K-espace vectoriel. Soient ϕ1...,ϕret ψ1, . . . , ψpdeux familles de formes linéaires
sur Etelles que Vect(ϕ1, . . . , ϕr) = Vect(ψ1, . . . , ψp). Montrer que
r
\
i=1
ker(ϕi) =
p
\
i=1
ker(ψi)
Exercice 14 Soit Eun K-espace vectoriel et soient ϕ1, . . . , ϕp∈E∗. On définit
ϕ:E−→ Kp
x7−→ (ϕ1(x), . . . , ϕp(x)).
Montrer que ϕest surjective si et seulement si la famille (ϕ1, . . . , ϕp)est libre.
Exercice 15 On se propose de prouver que pour toute forme linéaire ϕsur Mn(K)existe une unique
matrice Ade Mn(K)telle que : ∀X∈Mn(K), ϕ(X) = tr(AX).
1) Soit A∈Mn(K). Justifier que l’application ϕAde Mn(K)dans Kdéfinie par : ϕA(X) = tr(AX)est
une forme linéaire sur Mn(K).
2) On note φl’application de Mn(K)dans son dual définie par : φ(A) = ϕA.
(a) Justifier la linéarité de φ.
(b) Montrer que ker(φ) = {0n}.[Indication : Calculer ϕA(Eij )]
(c) En déduire que φest un isomorphisme, puis conclure (c’est-à-dire : décrire (Mn(K))∗).
Exercice 16 Soit u∈L(E, F ). Montrer que Im(tu) = ker u⊥et ker(tu) = Im u⊥.
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