dm03 2014 2015

Institut Préparatoire aux Études
d’Ingénieurs
de
Tunis.
Année universitaire 2014/2015
DM d’Algèbre N◦ 3
Février 2015 - Classes MP
Problème : Un premier aperçu des polynômes d’endomorphismes.
Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). On note e = IdE .
En définissant f 0 = e et ∀k ∈ N, f k+1 = f k ◦ f , on note pour tout polynôme A =
l’endomorphisme A(f ) =
n
X
n
X
ak X k ∈ K[X]
k=0
ak f k ∈ L(E), dit polynôme A en f .
k=0
On pose enfin P = (X − 1)2 (X − 3), P1 = (X − 1)2 , P2 = (X − 3) ∈ R[X].
Partie 1 :
1. Justifier l’existence d’un couple (U1 , U2 ) ∈ (K[X])2 tel que U1 P1 + U2 P2 = 1.
2. Trouver un tel couple (U1 , U2 ) :
(a) En utilisant l’algorithme d’Euclide.
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(b) En décomposant la fraction rationnelle .
P
Partie 2 : Premières manipulations des polynômes d’endomorphismes.
1. Montrer que pour tous A, B ∈ K[X], (AB)(f ) = A(f ) ◦ B(f ).
2. Montrer que tout polynôme en f commute avec f .
3. Soient A, B ∈ K[X] et D = A ∧ B.
(a) Montrer que si A|B, alors Ker(A(f )) ⊂ Ker(B(f )) et Im(B(f )) ⊂ Im(A(f )).
(b) Montrer alors que Ker(D(f )) = Ker(A(f )) ∩ Ker(B(f )) et que Im(D(f )) = Im(A(f )) +
Im(B(f )).
Partie 3 : Polynôme annulateur
On suppose dans cette partie que (f − e)2 ◦ (f − 3e) = P (f ) = 0. 1
On note g1 = (U1 P1 )(f ) et g2 = (U2 P2 )(f ).
1. Montrer que E = Ker(f − e)2 ⊕ Ker(f − 3e).
2. (a) Soient G1 , G2 , F1 et F2 des sous-espaces vectoriels de E vérifiant :
E = G1 ⊕ G2 = F1 ⊕ F2 , F1 ⊂ G1 et F2 ⊂ G2 .
Montrer que F1 = G1 et F2 = G2 .
(b) Montrer que g1 et g2 sont des projecteurs de E.
(c) Montrer que Ker(P2 (f )) ⊂ Im(g1 ) et que Ker(P1 (f )) ⊂ Ker(g1 ).
(d) Montrer alors que les inclusions de la question précédente sont des égalités.
(e) Trouver le noyau et l’image de g2 .
3. On pose d = 3g1 + g2 et n = f − d.
(a) Montrer que g1 + g2 = e et que g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1 = 0.
(b) En déduire que n est nilpotent 2 .
1. On dit que P est un polynôme annulateur de f .
2. Voir DM 2 pour la définition d’un endomorphisme nilpotent.
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