dm03 2014 2015

Institut Prépara-
toire aux Études
d’Ingénieurs de
Tunis.
Année universi-
taire 2014/2015
DM d’Algèbre N◦3
Février 2015 - Classes MP
Problème : Un premier aperçu des polynômes d’endomorphismes.
Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E). On note e=IdE.
En définissant f0=eet ∀k∈N, fk+1 =fk◦f, on note pour tout polynôme A=
n
X
k=0
akXk∈K[X]
l’endomorphisme A(f) =
n
X
k=0
akfk∈ L(E), dit polynôme Aen f.
On pose enfin P= (X−1)2(X−3), P1= (X−1)2, P2= (X−3) ∈R[X].
Partie 1 :
1. Justifier l’existence d’un couple (U1, U2)∈(K[X])2tel que U1P1+U2P2= 1.
2. Trouver un tel couple (U1, U2):
(a) En utilisant l’algorithme d’Euclide.
(b) En décomposant la fraction rationnelle 1
P.
Partie 2 : Premières manipulations des polynômes d’endomorphismes.
1. Montrer que pour tous A, B ∈K[X],(AB)(f) = A(f)◦B(f).
2. Montrer que tout polynôme en fcommute avec f.
3. Soient A, B ∈K[X]et D=A∧B.
(a) Montrer que si A|B, alors Ker(A(f)) ⊂Ker(B(f)) et Im(B(f)) ⊂Im(A(f)).
(b) Montrer alors que Ker(D(f)) = Ker(A(f)) ∩Ker(B(f)) et que Im(D(f)) = Im(A(f)) +
Im(B(f)).
Partie 3 : Polynôme annulateur
On suppose dans cette partie que (f−e)2◦(f−3e) = P(f)=0.1
On note g1= (U1P1)(f)et g2= (U2P2)(f).
1. Montrer que E=Ker(f−e)2⊕Ker(f−3e).
2. (a) Soient G1, G2, F1et F2des sous-espaces vectoriels de Evérifiant :
E=G1⊕G2=F1⊕F2, F1⊂G1et F2⊂G2.
Montrer que F1=G1et F2=G2.
(b) Montrer que g1et g2sont des projecteurs de E.
(c) Montrer que Ker(P2(f)) ⊂Im(g1)et que Ker(P1(f)) ⊂Ker(g1).
(d) Montrer alors que les inclusions de la question précédente sont des égalités.
(e) Trouver le noyau et l’image de g2.
3. On pose d= 3g1+g2et n=f−d.
(a) Montrer que g1+g2=eet que g1◦g2=g2◦g1= 0.
(b) En déduire que nest nilpotent 2.
1. On dit que Pest un polynôme annulateur de f.
2. Voir DM 2 pour la définition d’un endomorphisme nilpotent.
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