Séance : algèbre linéaire

Maths - MP 933 Chauffe 2014
Séance : algèbre linéaire
Vendredi 23 mai 2014
1 Le cours
Cours de première année, plus les sommes directes pour plus de deux sous-espaces ; un peu de dualité.
2 Les exercices
2.1 Récolte 2013
Exercice 1 Mines, M.-L. Bardonnet
On considère Φ : M∈ Mn(R)7→ aM +bt M
1. Condition(s) sur aet bpour que Φsoit bijective ?
2. Lorsque Φest bijective, déterminer Φ−1.
NDLR : Heu... ça me semble très simple !
Exercice 2 Centrale, J. Diaz
Soit u∈ L(E)tel que Im (u) = Ker (u). On suppose que E= Im u⊕S.
1. Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique couple (y, z)∈S2tel que x=y+u(z).
On pose v(x) = zet w(x) = y.
2. (a) Montrer que vest un endomorphisme de E; calculer u◦v+v◦u.
(b) Montrer que west un endomorphisme de E; calculer u◦w+w◦u.
3. Soit u∈ L(E)tel que u2= 0 et u6= 0.
(a) Si u◦v+v◦u=Id, a-t-on nécessairement Ker (u) = Im (u)?
(b) Si u◦w+w◦u=u, a-t-on nécessairement Ker (u) = Im (u)?
NDLR : heu... l’hypothèse Ker (u) = Im (u)est faite depuis le début !
(c) Reconstituer un énoncé tenant la route.
Exercice 3 ENSEA, B. Colange
Résoudre en xl’équation 
x a b c
a x b c
a b x c
a b c x
= 0
Exercice 4 INT, A. Kraus
Soit A∈ Mn(C). On définit f:M∈ Mn(C)7→ AM.
1. Justifier le fait que fest un endomorphisme.
2. Calculer la trace et le déterminant de f.
Exercice 5 Petites mines, A. Kraus vs. « un gros monsieur bizarre »
(préparé) Calculer : ∆n=
cos θ1 0 . . . 0
1 2 cos θ1....
.
.
0.........0
.
.
..........1
0. . . 0 1 2 cos θ
Exercice 6 Petites mines, L. Lecomte
Soit A∈ Mn(R)telle que A2=−In. Montrer : det(A)=1.
1

2.2 Récolte 2012
Exercice 7 Télécom sud Paris ; M. Bouret
Soient A∈ Mn(R)et P∈GLn(C).
Trouver une relation entre la comatrice de P AP −1et celle de A.
Exercice 8 Télécom sud Paris ; L. Pion
Calculer le déterminant de
a+b ab
1a+b ab (0)
1......
(0) ......ab
1a+b
2.3 Récolte 2011
Exercice 9 CCP
Soit B=−8−14
3 5 .
1. Calculer Bn.
2. Soient (un)et (vn)vérifiant un+1 =−16un−28vn
vn+1 = 6un+ 10vn
Exprimer unet vnen fonction de u0et v0.
Exercice 10 CCP
Soient u, v ∈ L(E), avec Ede dimension n.
1. Trouver une relation entre rg(u+v)et rg(u) + rg(v).
2. On suppose u◦v= 0 et u+vinversible. Montrer : rg(u) + rg(v) = n.
Exercice 11 Centrale
1. Soient Eun espace vectoriel, et f∈ L(E)telle que pour tout x∈E,(x, f(x)) est liée. Montrer
que fest une homothétie vectorielle.
2. Soit Mde trace nulle. Montrer que Mest semblable à une matrice de diagonale nulle.
Exercice 12 TPE
Soit E=Rn[X]. On fixe n+ 1 réels distincts a0, ..., anet on définit Fi:P∈E7→ Zai
0
P(t)dt.
Montrer que (F0, ..., Fn)est une base de E∗.
Exercice 13 TPE
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n. On considère f∈ L(E). Montrer :
dim (Ker (f)) 6dim Ker (f2)62 dim (Ker (f)) .
Exercice 14 Telecom Sud-Paris (INT)
Soit u∈ L(E), avec Eun espace de dimension quelconque. On suppose qu’il existe un unique v∈ L(E)
tel que u◦v=IdE.
Montrer que uest un automorphisme.
2.4 Recueil CCP
Exercices 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15 de la partie algèbre.
3 Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
1,[7],9,[15],13,3,[9],10,11,[6],5,8
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