Séance : algèbre linéaire

Maths - MP 933
Chauffe 2014
Séance : algèbre linéaire
Vendredi 23 mai 2014
1
Le cours
Cours de première année, plus les sommes directes pour plus de deux sous-espaces ; un peu de dualité.
2
2.1
Les exercices
Récolte 2013
Exercice 1 Mines, M.-L. Bardonnet
On considère Φ : M ∈ Mn (R) 7→ aM + btM
1. Condition(s) sur a et b pour que Φ soit bijective ?
2. Lorsque Φ est bijective, déterminer Φ−1 .
NDLR : Heu... ça me semble très simple !
Exercice 2 Centrale, J. Diaz
Soit u ∈ L(E) tel que Im (u) = Ker (u). On suppose que E = Im u ⊕ S.
1. Montrer que pour tout x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ S 2 tel que x = y + u(z).
On pose v(x) = z et w(x) = y.
2. (a) Montrer que v est un endomorphisme de E ; calculer u ◦ v + v ◦ u.
(b) Montrer que w est un endomorphisme de E ; calculer u ◦ w + w ◦ u.
3. Soit u ∈ L(E) tel que u2 = 0 et u 6= 0.
(a) Si u ◦ v + v ◦ u = Id, a-t-on nécessairement Ker (u) = Im (u) ?
(b) Si u ◦ w + w ◦ u = u, a-t-on nécessairement Ker (u) = Im (u) ?
NDLR : heu... l’hypothèse Ker (u) = Im (u) est faite depuis le début !
(c) Reconstituer un énoncé tenant la route.
Exercice 3 ENSEA, B. Colange
x a b c a x b c =0
Résoudre en x l’équation a b x c a b c x
Exercice 4 INT, A. Kraus
Soit A ∈ Mn (C). On définit f : M ∈ Mn (C) 7→ AM .
1. Justifier le fait que f est un endomorphisme.
2. Calculer la trace et le déterminant de f .
Exercice 5 Petites mines, A. Kraus vs.
cos θ
1
1
2 cos θ
..
(préparé) Calculer : ∆n = 0
.
.
.
..
..
0
...
« un gros monsieur
bizarre »
0 ...0
.
..
.. .
1
..
..
.
.
0 ..
..
.
.
1 0
1
2 cos θ
Exercice 6 Petites mines, L. Lecomte
Soit A ∈ Mn (R) telle que A2 = −In . Montrer : det(A) = 1.
1
2.2
Récolte 2012
Exercice 7 Télécom sud Paris ; M. Bouret
Soient A ∈ Mn (R) et P ∈ GLn (C).
Trouver une relation entre la comatrice de P AP −1 et celle de A.
Exercice 8 Télécom sud Paris
 ; L. Pion
a+b
ab
 1
a
+b


1
Calculer le déterminant de 


 (0)
2.3

ab
..
.
..
..
..
.
.
.
1
(0) 





ab 
a+b
Récolte 2011
Exercice9 CCP −8 −14
Soit B =
.
3
5
1. Calculer B n .
un+1 = −16un − 28vn
vn+1 = 6un + 10vn
Exprimer un et vn en fonction de u0 et v0 .
2. Soient (un ) et (vn ) vérifiant
Exercice 10 CCP
Soient u, v ∈ L(E), avec E de dimension n.
1. Trouver une relation entre rg(u + v) et rg(u) + rg(v).
2. On suppose u ◦ v = 0 et u + v inversible. Montrer : rg(u) + rg(v) = n.
Exercice 11 Centrale
1. Soient E un espace vectoriel, et f ∈ L(E) telle que pour tout x ∈ E, (x, f (x)) est liée. Montrer
que f est une homothétie vectorielle.
2. Soit M de trace nulle. Montrer que M est semblable à une matrice de diagonale nulle.
Exercice 12 TPE
Z
ai
Soit E = Rn [X]. On fixe n + 1 réels distincts a0 , ..., an et on définit Fi : P ∈ E 7→
P (t)dt.
0
Montrer que (F0 , ..., Fn ) est une base de E ∗ .
Exercice 13 TPE
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. On considère f ∈ L(E). Montrer :
dim (Ker (f )) 6 dim Ker (f 2 ) 6 2 dim (Ker (f )) .
Exercice 14 Telecom Sud-Paris (INT)
Soit u ∈ L(E), avec E un espace de dimension quelconque. On suppose qu’il existe un unique v ∈ L(E)
tel que u ◦ v = IdE .
Montrer que u est un automorphisme.
2.4
Recueil CCP
Exercices 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15 de la partie algèbre.
3
Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
1, [7], 9, [15], 13, 3, [9], 10, 11, [6], 5, 8
2