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X Maths 2 MP 2009 — Énoncé 1/3
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2009
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Endomorphismesd’espacesvectorielsdedimensioninfinie
Premièrepartie
Pour toutnombreréelλ,on désigneparTλl’endomorphismedel’espace vectorielC2repré-
sentéparlamatrice Ç0 1
−1λådanslabasenaturelledeC2notée (e1,e2).
1.Construireunebase(fλ,1,fλ,2)deC2telleque chacun desfλ,iaitune composantesure1
égaleà 1 et,enoutre,ayantlespropriétés suivantes:
1.a)Si|λ|>2, il existeun réelµλdemodule>1telque
Tλfλ,1=µλfλ,1,Tλfλ,2=µ−1
λfλ,2.
1.b)Si|λ|<2,onauneformuleanalogue,maisoùµλestun nombre complexede
module1etdepartieimaginaire>0,quel’on précisera.
1.c)Siλ=2,ona
T2f2,1=f2,1,T2f2,2=f2,1+f2,2.
1.d)Siλ=−2,ona
T−2f−2,1=−f−2,1,T−2f−2,2=f−2,1−f−2,2.
Deuxièmepartie
On désigneparEl’espace vectorieldes suitesdenombrescomplexesx=(xk)k∈ZetparA
l’endomorphismedeEdéfinipar
∀x∈E,∀k∈Z,(Ax)k=xk−1+xk+1.
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X Maths 2 MP 2009 — Énoncé 2/3
Ons’intéresseau noyau del’endomorphismeA−λidEoùλestun nombreréel.
2.a)Vérifierqu’un élémentxdeEappartientàKer(A−λidE)sietseulementsi l’ona
∀k∈Z,Çxk
xk+1å=Tk
λÇx0
x1å.
2.b)Préciserladimension deKer(A−λidE).
3.Onsupposex∈Ker(A−λidE)eton noteαλ,1etαλ,2lescomposantes,danslabase
(fλ,1,fλ,2)deC2,du vecteurÇx0
x1å.Démontrerlesassertions suivantes:
3.a)Si|λ|6=2,ona
xk=µk
λαλ,1+µ−k
λαλ,2.
3.b)Siλ=2,ona
xk=α2,1+(k+1)α2,2.
3.c)Siλ=−2,ona
xk=(−1)k(α−2,1+(1−k)α−2,2).
4.Onfixeun entierN>2eton désigneparPNl’ensembledesxdeEtelsquel’onait
xk+N=xkpour toutk∈Z.
Direpourquellesvaleursdeλlesous-espace Ker(A−λidE)∩PNn’estpasréduità{0}et,
dansce cas,en donnerunebase.
Troisièmepartie
On définitdeuxsous-espacesvectorielsdeEdelafaçonsuivante:
•E1estl’ensembledesélémentsxdeEtelsqueP
k∈Z
|xk|<+∞etonlemunitdelanorme
kxk1=X
k∈Z
|xk|.
•E∞estl’ensembledesélémentsudeEtelsquesup
k∈Z
|uk|<+∞etonlemunitdelanorme
kuk∞=sup
k∈Z
|uk|.
5.Étantdonnésx∈E1etu∈E∞,on pose
hx,ui=X
k∈Z
xkuk.
Vérifierque,pour toutu∈E∞(resp.toutx∈E1), l’applicationx7→ hx,ui(resp.u7→ hx,ui)
estuneformelinéaire continuesurE1(resp.surE∞)donton préciseralanorme.
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X Maths 2 MP 2009 — Énoncé 3/3
6.Montrerquel’onaA(E1)⊂E1,A(E∞)⊂E∞.MontrerquelesendomorphismesA1et
A∞induitsparArespectivementsurE1etE∞sontcontinusetdenorme2.
7.Démontrerlesassertions suivantes:
7.a)Pour toutentiern>0,toutk∈Zet toutx∈Eona
(Anx)k=
n
X
p=0Çn
påxk−n+2p
et
X
k∈Z
|(Anx)k|62nX
k∈Z
|xk|.
7.b)Si|λ|>2,pour toutx∈E1, laformule
Bλx=X
n>0
λ−nAn
1x
aun sensetdéfinitun endomorphismebijectifBλdeE1donton préciseral’inverse.
8.Soitλun nombreréel.
8.a)DéterminerKer(A1−λidE1).
8.b)DéterminerKer(A∞−λidE∞).
9.Direpourquellesvaleursdeλlesous-espace imagedeA1−λidE1estunepartiedense
deE1.
[On pourraévaluerhx,uipourx∈Im(A1−λidE1)etu∈Ker(A∞−λidE∞).]
Quatrièmepartie
Pour toutélémentxdeE1on définitcommesuitunefonctionϕxd’unevariableréelle,
continue,depériode2π:
ϕx(t)=X
k∈Z
xkeikt.
10.CalculerZ2π
0
ϕx(t)e−intdt,pourn∈Z.
11.CalculerϕA1x(t).
12.CalculerϕBλx(t)pour|λ|>2.
13.Donnerunenouvelledémonstration delaquestion8.a).
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