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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
L’épreuve dure 3h. Les six exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.


1 1 0
Exercice 1. Soit u ∈ L (R3 ) de matrice −1 4 −1 dans la base canonique Bc .
−1 2 1
1) Calculer χu et Πu .
2) Montrer que u − 2 Id est nilpotent sur R3 .

2
3) Trouver une base B telle que MatB (u) = 0
0

1 0
2 1 .
0 2
Exercice 2. Déterminer la signature et le rang des formes quadratiques suivantes :
q1 (x, y, z) = x2 + 9y 2 − z 2 + 2xy + 2xz − 6yz
q2 (x, y, z) = xy + yz + zx
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit E ∗ son dual.
1) Soit ϕ ∈ E ∗ . Montrer que ker ϕ est un sous-espace vectoriel de E et discuter sa dimension.
2) Soit ϕ1 , . . . ϕk une famille libre de formes linéaires. Montrer que
\
ϕ ∈ Vect(ϕ1 , . . . , ϕk ) ⇐⇒
ker(ϕi ) ⊂ ker ϕ.
[ Aide pour ⇐= : Compléter ϕ1 , . . . , ϕk en une base de E ∗ et considérer la base préduale. ]
On suppose dorénavant que E = R3 . On pose
ϕ1 :  E 
x
 y 
z
−→
ϕ2 :
R
7−→ x + y + z
R
 E  −→
x
 y  7−→ 2x + 3z .
z


1
Soit D = ker ϕ1 ∩ ker ϕ2 et u =  1 . Soit P l’hyperplan contenant D et u.
1
3) (a) Déterminer un vecteur v tel que D = Vect(v).
(b) Compléter la famille (u, v) en une base de R3 et calculer sa base duale.
(c) Déterminer ψ ∈ E ∗ telle que P = ker ψ.
4) Retrouver le résultat de la question 3.(c) à l’aide de la question 2).
Exercice 4. Soit n ≥ 2 et soient A, B ∈ Mn (C). Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
On fournira un contre-exemple lorsque la propriété est fausse et la démonstration lorsqu’elle est vraie.
1) Si A est diagonalisable alors χA = ΠA .
2) Si χA = χB alors ΠA = ΠB .
3) S’il existe une matrice inversible P vérifiant B = P −1 AP alors ΠA = ΠB .
4) Si ΠA (0) = 0 alors la matrice A n’est pas inversible.
1
Exercice 5.
1) Soit K un corps, montrer qu’un polynôme P de degré 2 ou 3 dans K[X] est irréductible si et seulement
si P n’a pas de racine dans K.
2) Déterminer tous les polynômes irréductibles de degré 2 ou 3 à coefficients dans le corps F2 := Z/2Z.
3) Déterminer tous les polynômes irréductibles de degré 4 à coefficients dans F2 .
4) On considère le polynôme P = X 3 + 8X 2 + 3X + 15 ∈ Z[X]. L’objectif de cette question est de
montrer que P est irréductible sur Z. On considère l’application suivante :
π : PZ[X]
ai X i
−→
F2P
[X]
7−→ P = a¯i X i
(a) Calculer π(P ) et montrer que π(P ) est irréductible sur F2 .
(b) En déduire que P est irréductible sur Z.
Exercice 6. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et soit f ∈ L (E). On pose
Γf := {g ∈ L (E) | f ◦ g = g ◦ f }.
1) Montrer que Γf est un sous-espace vectoriel de L (E).
2) (a) Déterminer ΓId où Id désigne l’identité de E.
(b) Calculer Γh pour l’application suivante
h:
2
2
R −→ R x
2x
7 →
−
y
y
3) On suppose que f est diagonalisable. On désigne par λ1 , . . . , λk ses valeurs propres et par Eλi les
espaces propres associés.
(a) Rappeler la définition de valeur propre et d’espace propre.
(b) Montrer que si g ∈ Γf alors g(Eλi ) ⊂ Eλi .
(c) Montrer que si g(Eλi ) ⊂ Eλi alors g ∈ Γf .
(d) Calculer la dimension de Γf .
4) On suppose que f admet n valeurs propres distinctes λ1 , . . . , λn . On pose C = {P (f ) | P ∈ K[X]}.
(a) Déterminer le polynôme minimal Πf de f en fonction de λ1 , . . . , λn .
(b) Montrer que Γf = C.
[ Aide : Commencer par déterminer la dimension de C en fonction de deg(Πf ) à l’aide de l’application
ϕ : K[X] −→ L (E) définie par ϕ(P ) = P (f ). ]
2