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Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Examen final
UE 6-3 Algèbre Semestre 6
L’épreuve dure 3h. Les six exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la ré-
daction. Toute affirmation doit être justifiée.
Exercice 1. Soit u∈L(R3)de matrice 
110
−1 4 −1
−1 2 1
dans la base canonique Bc.
1) Calculer χuet Πu.
2) Montrer que u−2 Id est nilpotent sur R3.
3) Trouver une base Btelle que MatB(u) = 
2 1 0
0 2 1
0 0 2
.
Exercice 2. Déterminer la signature et le rang des formes quadratiques suivantes :
q1(x, y, z) = x2+ 9y2−z2+ 2xy + 2xz −6yz
q2(x, y, z) = xy +yz +zx
Exercice 3. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net soit E∗son dual.
1) Soit ϕ∈E∗. Montrer que ker ϕest un sous-espace vectoriel de Eet discuter sa dimension.
2) Soit ϕ1,...ϕkune famille libre de formes linéaires. Montrer que
ϕ∈Vect(ϕ1,...,ϕk)⇐⇒ \ker(ϕi)⊂ker ϕ.
[Aide pour ⇐=: Compléter ϕ1,...,ϕken une base de E∗et considérer la base préduale. ]
On suppose dorénavant que E=R3. On pose
ϕ1:E−→ Rϕ2:E−→ R
x
y
z
7−→ x+y+z
x
y
z
7−→ 2x+ 3z.
Soit D= ker ϕ1∩ker ϕ2et u=
1
1
1
. Soit Pl’hyperplan contenant Det u.
3) (a) Déterminer un vecteur vtel que D= Vect(v).
(b) Compléter la famille (u, v)en une base de R3et calculer sa base duale.
(c) Déterminer ψ∈E∗telle que P= ker ψ.
4) Retrouver le résultat de la question 3.(c)à l’aide de la question 2).
Exercice 4. Soit n≥2et soient A, B ∈Mn(C). Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
On fournira un contre-exemple lorsque la propriété est fausse et la démonstration lorsqu’elle est vraie.
1) Si Aest diagonalisable alors χA= ΠA.
2) Si χA=χBalors ΠA= ΠB.
3) S’il existe une matrice inversible Pvérifiant B=P−1AP alors ΠA= ΠB.
4) Si ΠA(0) = 0 alors la matrice An’est pas inversible.
1

Exercice 5.
1) Soit Kun corps, montrer qu’un polynôme Pde degré 2 ou 3 dans K[X]est irréductible si et seulement
si Pn’a pas de racine dans K.
2) Déterminer tous les polynômes irréductibles de degré 2 ou 3 à coefficients dans le corps F2:= Z/2Z.
3) Déterminer tous les polynômes irréductibles de degré 4 à coefficients dans F2.
4) On considère le polynôme P=X3+ 8X2+ 3X+ 15 ∈Z[X]. L’objectif de cette question est de
montrer que Pest irréductible sur Z. On considère l’application suivante :
π:Z[X]−→ F2[X]
PaiXi7−→ P=P¯aiXi
(a) Calculer π(P)et montrer que π(P)est irréductible sur F2.
(b) En déduire que Pest irréductible sur Z.
Exercice 6. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net soit f∈L(E). On pose
Γf:= {g∈L(E)|f◦g=g◦f}.
1) Montrer que Γfest un sous-espace vectoriel de L(E).
2) (a) Déterminer ΓId où Id désigne l’identité de E.
(b) Calculer Γhpour l’application suivante
h:R2−→ R2
x
y7−→ 2x
y
3) On suppose que fest diagonalisable. On désigne par λ1,...,λkses valeurs propres et par Eλiles
espaces propres associés.
(a) Rappeler la définition de valeur propre et d’espace propre.
(b) Montrer que si g∈Γfalors g(Eλi)⊂Eλi.
(c) Montrer que si g(Eλi)⊂Eλialors g∈Γf.
(d) Calculer la dimension de Γf.
4) On suppose que fadmet nvaleurs propres distinctes λ1,...,λn. On pose C={P(f)|P∈K[X]}.
(a) Déterminer le polynôme minimal Πfde fen fonction de λ1,...,λn.
(b) Montrer que Γf=C.
[Aide : Commencer par déterminer la dimension de Cen fonction de deg(Πf)à l’aide de l’application
ϕ:K[X]−→ L(E)définie par ϕ(P) = P(f).]
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