Association des amoureux des Mathématiques Compétition de

Association des amoureux des Mathématiques
Compétition de Mathématiques
pour les classes SUP
14-05-2013
Durée : 3 heures
Répondre par vrai ou faux en donnant une preuve concise ou un contre-exemple.
1. Si la somme de deux fonctions réelles est continue, alors chacune d’elles est continue.
2. Soit a; b 2N;pgcd (a; b) = 1:Il existe n02Ntel que
8nn0=)n2aN+bN
3. Soit fet gdeux fonctions périodiques de Rdans R:Alors la fonction f+gest péri-
odique.
4. Soit f: [0;1] ! Rune fonction continue. Alors
lim
n!1
1
n
n
P
k=1
fk
n=Z1
0
f(t)dt
5. Soit f: [0;1] ! Rune fonction continue. Alors
lim
n!1
1
n
n
P
k=1
(1)kfk
n= 0
6. Soit A2 M2(C):Il existe B2 M2(C)telle que A=B2:
7. Si f:R! Rest continue, l’image par fd’une partie bornée est une partie bornée.
8. Soit I; J et Kdes intervalles de R; f :I! J; g :J! K: Si gfest continue, alors
fet gsont continues.
9. Si P2R[X]véri…e P(t)08t2R;alors toute racine réelle de Pest d’ordre pair.
10. Soit f:R! Rune fonction continue et bornée et a > 0:Il existe une suite (xn)telle
que
lim
n!1 xn= +1;et lim n!1 [f(xn+a)f(xn)] = 0
11. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.
12. Soit A; B 2 Mn(R)et M=A0
0Balors
rg M= rg A+ rg B
13. Soit A; B 2 Mn(K)telles que ker A\ker B=f0g;alors rg (A+B) = rg A+ rg B:
1

14. Soit f:R+! [0;1] continue et véri…ant :
xn! 1 et f(xn)! `=)f(xn+a)! `8a > 0
Alors fadmet une limite en 1:
15. Soit f:R! Ret a2R:Si pour toute suite (xn)convergente vers a; la suite f(xn)
converge, alors fest continue en a:
16. Soit n2et A; B 2 Mn(R)avec rg A= rg B: Alors il existe une matrice inversible
Ptelle que A=P B:
17. Soit Eun espace vectoriel de dimension …nie et fun endomorphisme de E: Si
E= ker (fId) + ker (f+Id)
alors fest une symétrie.
18. Si fest continue de Rdans R;alors toute primitive de fsur Rest de la forme
x7! Rx
af(t)dt; où a2R:
19. Soit x1; :::; x2013 dans Z:Alors il existe p2 f1; :::; 2013gtel que x1+:::+xpsoit divisible
par 2013:
20. Soit A=f1=n :n2Ng [ f0g:Il existe une fonction f:R! Rdiscontinue en tout
point de Aet continue en tout point de RA:
2

Khaled taou…k AmmarHamza
1. 4 (mal rédigé) 4
2. 0
3. 4
4. 4 4
5. 2 a revoir
6. ..
7. 4
8. 4
9. 4 à voir en détail
10. ..
11. 4
12. ..
13. ..
14. ..
15. 2 ou 1 à revoir
16. ..
17. à revoir
18. 4
19. 4
20. bonne idée, à recti…er
3