Association des amoureux des Mathématiques Compétition de Mathématiques pour les classes SUP 14-05-2013 Durée : 3 heures Répondre par vrai ou faux en donnant une preuve concise ou un contre-exemple. 1. Si la somme de deux fonctions réelles est continue, alors chacune d’elles est continue. 2. Soit a; b 2 N; pgcd (a; b) = 1: Il existe n0 2 N tel que 8n n0 =) n 2 aN + bN 3. Soit f et g deux fonctions périodiques de R dans R: Alors la fonction f + g est périodique. 4. Soit f : [0; 1] ! R une fonction continue. Alors Z 1 n 1 P k f (t) dt lim f = n !1 n k=1 n 0 5. Soit f : [0; 1] ! R une fonction continue. Alors n n 1 P ( 1)k f !1 n k=1 lim k n =0 6. Soit A 2 M2 (C) : Il existe B 2 M2 (C) telle que A = B 2 : 7. Si f : R ! R est continue, l’image par f d’une partie bornée est une partie bornée. 8. Soit I; J et K des intervalles de R; f : I ! J; g : J ! K: Si g f est continue, alors f et g sont continues. 9. Si P 2 R[X] véri…e P (t) 0 8t 2 R; alors toute racine réelle de P est d’ordre pair. 10. Soit f : R ! R une fonction continue et bornée et a > 0: Il existe une suite (xn ) telle que lim xn = +1; et lim [f (xn + a) f (xn )] = 0 n !1 n !1 11. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire. 12. Soit A; B 2 Mn (R) et M = A 0 0 B alors rg M = rg A + rg B 13. Soit A; B 2 Mn (K) telles que ker A \ ker B = f0g ; alors rg (A + B) = rg A + rg B: 14. Soit f : R+ ! [0; 1] continue et véri…ant : xn ! 1 et f (xn ) ! ` =) f (xn + a) ! ` 8a > 0 Alors f admet une limite en 1: 15. Soit f : R ! R et a 2 R: Si pour toute suite (xn ) convergente vers a; la suite f (xn ) converge, alors f est continue en a: 16. Soit n 2 et A; B 2 Mn (R) avec rg A = rg B: Alors il existe une matrice inversible P telle que A = P B: 17. Soit E un espace vectoriel de dimension …nie et f un endomorphisme de E: Si E = ker (f Id) + ker (f + Id) alors f est une symétrie. 18. Si f est R x continue de R dans R; alors toute primitive de f sur R est de la forme x 7 ! a f (t) dt; où a 2 R: 19. Soit x1 ; :::; x2013 dans Z: Alors il existe p 2 f1; :::; 2013g tel que x1 +:::+xp soit divisible par 2013: 20. Soit A = f1=n : n 2 N g [ f0g : Il existe une fonction f : R ! R discontinue en tout point de A et continue en tout point de R A: Khaled taou…k AmmarHamza 1. 4 (mal rédigé) 4 2. 0 3. 4 4. 4 4 5. 2 a revoir 6. .. 7. 4 8. 4 9. 4 à voir en détail 10. .. 11. 4 12. .. 13. .. 14. .. 15. 2 ou 1 à revoir 16. .. 17. à revoir 18. 4 19. 4 20. bonne idée, à recti…er