Préparation au concours EDHEC AST1 DM3 - pgepgo

Préparation au concours EDHEC AST1
DM3
PGE-PGO
2016-2017
Problème 1 : polynômes interpolateurs
Soit Iun intervalle ouvert non vide de Ret soient a, b, c ∈Itels que a<b<c. On considère
l’application
u:(R2[X]→R3
P7→ (P(a), P (b), P (c))
1. Montrer que uest un isomorphisme.
2. Montrer qu’il existe trois polynômes A, B, C ∈R2[X]tels que
A(a)=1, A(b)=0et A(c)=0
B(a)=0, B(b)=1et B(c)=0
C(a)=0, C(b)=0et C(c)=1
et expliciter ces polynômes.
3. (a) Montrer que (A, B, C)est une base de R2[X].
(b) Si P∈R2[X], donner les coordonnées de Pdans la base (A, B, C).
4. Soit g∈ C2(I)telle que g(a) = g(b) = g(c). Montrer à l’aide du théorème de Rolle que
g00 s’annule sur ]a, c[.
5. Soit f∈ C2(I).
(a) Si P(X) = f(a)A(X) + f(b)B(X) + f(c)C(X), montrer que Pest un élément de
R2[X]dont la fonction polynomiale associée prend les mêmes valeurs que fen a,
bet c.
(b) En utilisant la question 4), montrer qu’il existe w∈]a, c[tel que l’on ait :
f(a)
(a−b)(a−c)+f(b) (b−a)(b−c)+f(c) (c−a)(c−b)=f00(w) 2
(c) Soit x0∈I. Montrer que
lim
h→0
f(x0+h) + f(x0−h)−2f(x0)
h2=f00(x0) 2
1

Problème 2 : un problème du collectionneur
Soit nun entier supérieur ou égal à 2. On effectue des tirages à l’aveugle successifs et avec
remise dans une urne contenant nboules indiscernables au toucher numérotées de 1àn, et
on définit une suite (Ui)i∈N∗de variables aléatoires comme suit : on pose U1= 1, et pour
tout entier i>2on associe à Uila valeur 1si le numéro de boule obtenu au i-ème tirage n’a
pas été obtenu lors des i−1tirages précédentes, et 0sinon. Enfin, pour tout i∈N∗on note
Tila variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue lors du i-ème tirage.
1. Donner la loi de U2.
2. (a) Donner la loi de Tipour tout i∈N∗.
(b) En déduire grâce à la formule des probabilités totales que l’on a :
∀i∈N∗,P(Ui= 1) = 1−1
ni−1
Pour tout entier k>2, on note Vk(n)la variable aléatoire égale au nombre de numéros
distincts obtenus lors des npremiers tirages.
3. (a) Si k>2, exprimer Vk(n)en fonction des variables Ui.
(b) Si k>2, calculer l’espérance de Vk(n).
(c) Déterminer la limite de la quantité E(Vk(n)) lorsque ktend vers l’infini.
Problème 3 : un endomorphisme nilpotent
Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique de R3est
A=
1−1 1
5 1 −7
2 0 −2
1. Montrer que f3= 0.
2. En déduire que Im (f)⊂ker(f2)et que Im (f2)⊂ker(f).
3. Calculer le rang de fet en déduire que Im (f) = ker(f2)et ker(f) = Im (f2).
2